题目
34.设 (x)=(x-1)(x-2)... (x-2025) ,则 f'(1)=
题目解答
答案
由 $f(x)=(x-1)\cdot g(x)$, 其中 $g(x)=(x-2)(x-3)\cdots (x-2025)$, 则 $f'(x)=g(x)+(x-1)g'(x)$, 故 $f'(1)=g(1)=(-1)(-2)(-3)\cdots (-2024)={2024}^{1}$!
2024!
2024!
解析
步骤 1：定义函数
设 $f(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2025)$，这是一个多项式函数，其中每个因子都是线性函数。
步骤 2：求导
根据乘积法则，$f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 可以表示为 $f'(x) = g(x) + (x-1)g'(x)$，其中 $g(x) = (x-2)(x-3)\cdots (x-2025)$。
步骤 3：计算 $f'(1)$
将 $x=1$ 代入 $f'(x)$ 的表达式中，得到 $f'(1) = g(1) + (1-1)g'(1) = g(1)$。因为 $(1-1)g'(1) = 0$，所以 $f'(1) = g(1)$。
步骤 4：计算 $g(1)$
$g(1) = (1-2)(1-3)\cdots (1-2025) = (-1)(-2)(-3)\cdots (-2024) = (-1)^{2024} \cdot 2024! = 2024!$。
设 $f(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-2025)$，这是一个多项式函数，其中每个因子都是线性函数。
步骤 2：求导
根据乘积法则，$f(x)$ 的导数 $f'(x)$ 可以表示为 $f'(x) = g(x) + (x-1)g'(x)$，其中 $g(x) = (x-2)(x-3)\cdots (x-2025)$。
步骤 3：计算 $f'(1)$
将 $x=1$ 代入 $f'(x)$ 的表达式中，得到 $f'(1) = g(1) + (1-1)g'(1) = g(1)$。因为 $(1-1)g'(1) = 0$，所以 $f'(1) = g(1)$。
步骤 4：计算 $g(1)$
$g(1) = (1-2)(1-3)\cdots (1-2025) = (-1)(-2)(-3)\cdots (-2024) = (-1)^{2024} \cdot 2024! = 2024!$。