题目
计算定积分 (∫)_(0)^2sqrt(4-(x)^2)dx= ____ ．
计算定积分 ${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx= ____ ．
题目解答
答案
解：令y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，则x2+y2=4（y≥0），点（x，y）的轨迹表示半圆，
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，2为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$，
故${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π×4=π，
故答案为：π．
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示以原点为圆心，2为半径的圆面积的$\frac{1}{4}$，
故${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π×4=π，
故答案为：π．
解析
考查要点：本题主要考查定积分的几何意义，即利用积分计算平面图形的面积。关键在于识别被积函数对应的几何图形，并确定积分区间所对应的区域。
解题核心思路：
被积函数$\sqrt{4-x^2}$可转化为圆的方程$x^2 + y^2 = 4$（$y \geq 0$），即半径为2的上半圆。积分区间$[0, 2]$对应上半圆的右半部分，因此积分结果等于四分之一圆的面积。
破题关键点：
- 将被积函数转化为几何图形；
- 明确积分区间对应的图形区域；
- 直接计算对应区域的面积。
步骤1：几何意义转化
被积函数$\sqrt{4-x^2}$满足方程$y = \sqrt{4-x^2}$，两边平方得$x^2 + y^2 = 4$（$y \geq 0$），表示以原点为圆心、半径为2的上半圆。
步骤2：确定积分区域
积分区间$x \in [0, 2]$对应上半圆的右半部分，即圆心角为$\frac{\pi}{2}$的扇形区域，面积为圆面积的$\frac{1}{4}$。
步骤3：计算面积
圆面积为$\pi \times 2^2 = 4\pi$，四分之一圆面积为$\frac{1}{4} \times 4\pi = \pi$，因此积分值为$\pi$。