题目

1.求下列微分方程的通解：(1)xy'-yylny=0;(3)sqrt(1-x^2)y'=sqrt(1-y^2);(5)sec^2xtanydx+sec^2ytanxdy=0;(7)(e^x+y-e^x)dx+(e^x+y+e^y)dy=0;(9)(y+1)^2(dy)/(dx)+x^3=0;

1.求下列微分方程的通解： (1)$xy'-yylny=0$; (3)$\sqrt{1-x^{2}}y'=\sqrt{1-y^{2}}$; (5)$sec^{2}xtanydx+sec^{2}ytanxdy=0$; (7)$(e^{x+y}-e^{x})dx+(e^{x+y}+e^{y})dy=0$; (9)$(y+1)^{2}\frac{dy}{dx}+x^{3}=0$;

题目解答

答案

1. 分离变量得 $\frac{y'}{y\ln y} = \frac{1}{x}$，积分得 $\ln|\ln y| = \ln|x| + C$，解得 $y = e^{Cx}$。 3. 分离变量得 $\frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，积分得 $\arcsin y = \arcsin x + C$。 5. 分离变量得 $\frac{\sec^2 x}{\tan x}dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y}dy$，积分得 $\tan x \tan y = C$。 7. 分离变量得 $\frac{e^x}{e^x+1}dx + \frac{e^y}{e^y-1}dy = 0$，积分得 $(e^x+1)(e^y-1) = C$。 9. 分离变量得 $(y+1)^2dy = -x^3dx$，积分得 $4(y+1)^3 + 3x^4 = C$。 \[ \boxed{ \begin{array}{ll} 1. & y = e^{Cx} \\ 3. & \arcsin y = \arcsin x + C \\ 5. & \tan x \tan y = C \\ 7. & (e^x + 1)(e^y - 1) = C \\ 9. & 4(y+1)^3 + 3x^4 = C \\ \end{array} } \]

解析

考查要点：本题主要考查可分离变量微分方程的解法，需要将方程中的变量分离后分别积分。关键在于正确识别方程结构，灵活运用代数变形和积分技巧。

解题思路：

分离变量：将方程整理为一侧仅含$y$和$dy$，另一侧仅含$x$和$dx$的形式；
积分求解：对分离后的变量分别积分，注意积分常数的处理；
化简结果：将积分结果整理为显式或隐式解的形式。

第（1）题

方程：$xy' - yy'\ln y = 0$

分离变量

提取公共因子$y'$，得：
$y'\left( x - y\ln y \right) = 0$
因$y'\neq 0$（否则解为常数函数），故有：
$\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln y}{x}$
分离变量：
$\frac{dy}{y\ln y} = \frac{dx}{x}$

积分求解

对左侧积分，令$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y}dy$，得：
$\int \frac{1}{u} du = \int \frac{1}{x} dx \implies \ln|u| = \ln|x| + C$
回代$u = \ln y$，整理得：
$\ln|\ln y| = \ln|x| + C \implies \ln y = Cx \implies y = e^{Cx}$

第（3）题

方程：$\sqrt{1-x^{2}}y' = \sqrt{1-y^{2}}$

分离变量

整理为：
$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

积分求解

两边积分得：
$\arcsin y = \arcsin x + C$

第（5）题

方程：$\sec^{2}x\tan y dx + \sec^{2}y\tan x dy = 0$

分离变量

整理为：
$\frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = -\frac{\sec^2 y}{\tan y} dy$

积分求解

积分得：
$\int \frac{\sec^2 x}{\tan x} dx = -\int \frac{\sec^2 y}{\tan y} dy$
令$u = \tan x$，则$du = \sec^2 x dx$，同理右侧得：
$\ln|\tan x| = -\ln|\tan y| + C \implies \tan x \tan y = C$

第（7）题

方程：$(e^{x+y} - e^{x})dx + (e^{x+y} + e^{y})dy = 0$

分离变量

将方程改写为：
$e^x(e^y - 1)dx + e^y(e^x + 1)dy = 0$
分离变量：
$\frac{e^x}{e^x + 1}dx + \frac{e^y}{e^y - 1}dy = 0$

积分求解

积分得：
$\ln(e^x + 1) - \ln(e^y - 1) = C \implies (e^x + 1)(e^y - 1) = C$

第（9）题

方程：$(y+1)^{2}\frac{dy}{dx} + x^{3} = 0$

分离变量

整理为：
$(y+1)^2 dy = -x^3 dx$

积分求解

积分得：
$\frac{(y+1)^3}{3} = -\frac{x^4}{4} + C \implies 4(y+1)^3 + 3x^4 = C$