题目
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=}c, & |y|leq x, 0< x< 1, 0, & (其他)，问随机变量X与Y是否相互独立？() - 不独立 - 独立
设二维随机变量$(X,Y)$的联合密度函数为$f(x,y)=\begin{cases}c, & |y|\leq x, 0< x< 1, \\ 0, & \text{其他}\end{cases}$，问随机变量$X$与$Y$是否相互独立？()
- 不独立
- 独立
题目解答
答案
1. **确定常数 $c$**：
由联合密度函数的归一性，
\[
\int_0^1 \int_{-x}^x c \, dy \, dx = 1 \implies c \int_0^1 2x \, dx = c = 1 \implies c = 1.
\]
故联合密度函数为
\[
f(x, y) = \begin{cases}
1, & |y| \leq x, 0 < x < 1 \\
0, & \text{其他情况}
\end{cases}.
\]
2. **求边缘密度函数**：
- $X$ 的边缘密度：
\[
f_X(x) = \int_{-x}^x 1 \, dy = 2x, \quad 0 < x < 1.
\]
- $Y$ 的边缘密度：
\[
f_Y(y) = \int_{|y|}^1 1 \, dx = 1 - |y|, \quad -1 < y < 1.
\]
3. **判断独立性**：
检验 $f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$ 是否成立。
对于 $0 < x < 1$ 和 $-x \leq y \leq x$，
\[
f_X(x) f_Y(y) = 2x(1 - |y|) \neq 1 = f(x, y).
\]
故 $X$ 和 $Y$ 不独立。
**答案：**
\[
\boxed{\text{不独立}}
\]
解析
步骤 1：确定常数 $c$
由联合密度函数的归一性，即联合密度函数在整个定义域上的积分等于1，我们有
\[ \int_0^1 \int_{-x}^x c \, dy \, dx = 1. \]
计算内层积分，得到
\[ \int_{-x}^x c \, dy = c \cdot 2x. \]
将结果代入外层积分，得到
\[ \int_0^1 c \cdot 2x \, dx = c \cdot \int_0^1 2x \, dx = c \cdot [x^2]_0^1 = c \cdot 1 = c. \]
因此，$c = 1$，联合密度函数为
\[ f(x, y) = \begin{cases} 1, & |y| \leq x, 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases}. \]
步骤 2：求边缘密度函数
- $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$ 为
\[ f_X(x) = \int_{-x}^x 1 \, dy = 2x, \quad 0 < x < 1. \]
- $Y$ 的边缘密度函数 $f_Y(y)$ 为
\[ f_Y(y) = \int_{|y|}^1 1 \, dx = 1 - |y|, \quad -1 < y < 1. \]
步骤 3：判断独立性
检验 $f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$ 是否成立。对于 $0 < x < 1$ 和 $-x \leq y \leq x$，我们有
\[ f_X(x) f_Y(y) = 2x(1 - |y|) \neq 1 = f(x, y). \]
因此，$X$ 和 $Y$ 不独立。
由联合密度函数的归一性，即联合密度函数在整个定义域上的积分等于1，我们有
\[ \int_0^1 \int_{-x}^x c \, dy \, dx = 1. \]
计算内层积分，得到
\[ \int_{-x}^x c \, dy = c \cdot 2x. \]
将结果代入外层积分，得到
\[ \int_0^1 c \cdot 2x \, dx = c \cdot \int_0^1 2x \, dx = c \cdot [x^2]_0^1 = c \cdot 1 = c. \]
因此，$c = 1$，联合密度函数为
\[ f(x, y) = \begin{cases} 1, & |y| \leq x, 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases}. \]
步骤 2：求边缘密度函数
- $X$ 的边缘密度函数 $f_X(x)$ 为
\[ f_X(x) = \int_{-x}^x 1 \, dy = 2x, \quad 0 < x < 1. \]
- $Y$ 的边缘密度函数 $f_Y(y)$ 为
\[ f_Y(y) = \int_{|y|}^1 1 \, dx = 1 - |y|, \quad -1 < y < 1. \]
步骤 3：判断独立性
检验 $f(x, y) = f_X(x) f_Y(y)$ 是否成立。对于 $0 < x < 1$ 和 $-x \leq y \leq x$，我们有
\[ f_X(x) f_Y(y) = 2x(1 - |y|) \neq 1 = f(x, y). \]
因此，$X$ 和 $Y$ 不独立。