题目
2.判断题(20分)利用斯托克斯公式，iint_(Sigma)(}(1)/(sqrt(3))&(1)/(sqrt(3))&(1)/(sqrt(3))partial)/(partial x)&(partial)/(partial y)&(partial)/(partial z)sqrt(y^2)-z^(2)&sqrt(z^2)-x^(2)&sqrt(x^2)-y^(2))dz.其中Γ是平面x+y+z=(3)/(2)截立方体((x,y,z)|0≤x,y,z≤1)的表面截痕，从Ox正向看Γ为逆时针方向.A 正确.B 错误.
2.判断题(20分)
利用斯托克斯公式，
$\iint_{\Sigma}\left(\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\\sqrt{y^{2}-z^{2}}&\sqrt{z^{2}-x^{2}}&\sqrt{x^{2}-y^{2}}\end{matrix}\right)dS=-\frac{4}{3}\iint_{\Sigma}(x+y+z)dS=\oint(y^{2}-z^{2})dx+(z^{2}-x^{2})dy+(x^{2}-y^{2})dz.$其中
Γ是平面$x+y+z=\frac{3}{2}$截立方体{(x,y,z)|0≤x,y,z≤1}的表面截痕，从Ox正向看Γ为逆时针方向.
A 正确.
B 错误.
题目解答
答案
根据斯托克斯公式，有：
\[
\oint_{\Gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \, dS
\]
其中，$\mathbf{F} = (\sqrt{y^2 - z^2}, \sqrt{z^2 - x^2}, \sqrt{x^2 - y^2})$，$\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$。计算旋度并与法向量点积：
\[
(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{3}(x + y + z)
\]
在平面 $x + y + z = \frac{3}{2}$ 上，该表达式恒等于 $-2$，与题目所给形式一致。因此，等式成立。
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定向量场和曲面
向量场 $\mathbf{F} = (\sqrt{y^2 - z^2}, \sqrt{z^2 - x^2}, \sqrt{x^2 - y^2})$，曲面 $\Sigma$ 是由平面 $x + y + z = \frac{3}{2}$ 截立方体 $\{(x,y,z) | 0 \leq x,y,z \leq 1\}$ 的表面截痕。
步骤 2：计算旋度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$，并将其与法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ 点积，得到：
\[ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{3}(x + y + z) \]
步骤 3：验证等式
在平面 $x + y + z = \frac{3}{2}$ 上，$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = -2$，与题目所给形式一致。因此，等式成立。
向量场 $\mathbf{F} = (\sqrt{y^2 - z^2}, \sqrt{z^2 - x^2}, \sqrt{x^2 - y^2})$，曲面 $\Sigma$ 是由平面 $x + y + z = \frac{3}{2}$ 截立方体 $\{(x,y,z) | 0 \leq x,y,z \leq 1\}$ 的表面截痕。
步骤 2：计算旋度
计算向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$，并将其与法向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$ 点积，得到：
\[ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{3}(x + y + z) \]
步骤 3：验证等式
在平面 $x + y + z = \frac{3}{2}$ 上，$(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} = -\frac{4}{3} \times \frac{3}{2} = -2$，与题目所给形式一致。因此，等式成立。