11.【主观题】证明方程(2x)/(e)-ln x-sqrt(3)=0在(0，+∞)内至少有两个实根.我的答案

考查要点：本题主要考查利用连续函数的介值定理证明方程在指定区间内存在实根的方法，以及通过分析函数在特定点的符号变化确定零点个数的能力。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式$f(x) = \frac{2x}{e} - \ln x - \sqrt{3}$。
2. 分析函数在关键点的符号：分别计算$x \to 0^+$、$x = e$、$x \to +\infty$时$f(x)$的值，确定函数值的正负变化。
3. 应用介值定理：通过函数值的正负交替，证明在区间$(0, e)$和$(e, +\infty)$内各至少存在一个零点。

破题关键点：

• 函数连续性：确认$f(x)$在$(0, +\infty)$内连续，满足介值定理的应用条件。
• 关键点的函数值符号：通过计算$x = e$处的函数值为负，结合两端趋向正无穷，确定两个零点的存在。

步骤1：构造函数
定义函数$f(x) = \frac{2x}{e} - \ln x - \sqrt{3}$，需证明其在$(0, +\infty)$内至少有两个零点。

步骤2：分析函数在关键点的值

1. 当$x \to 0^+$时：
   $\ln x \to -\infty$，因此$-\ln x \to +\infty$，而$\frac{2x}{e} \to 0$，故$f(x) \to +\infty$（正）。
2. 当$x = e$时：
   $f(e) = \frac{2e}{e} - \ln e - \sqrt{3} = 2 - 1 - \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3} < 0$
   （因为$\sqrt{3} \approx 1.732$，故$1 - \sqrt{3} \approx -0.732$）。
3. 当$x \to +\infty$时：
   $\frac{2x}{e}$线性增长，$\ln x$增长缓慢，故$\frac{2x}{e} - \ln x \to +\infty$，因此$f(x) \to +\infty$（正）。

步骤3：应用介值定理

• 区间$(0, e)$：
  $f(x)$在$x \to 0^+$时为正，在$x = e$时为负，且$f(x)$连续，因此存在$c_1 \in (0, e)$，使得$f(c_1) = 0$。
• 区间$(e, +\infty)$：
  $f(x)$在$x = e$时为负，在$x \to +\infty$时为正，且$f(x)$连续，因此存在$c_2 \in (e, +\infty)$，使得$f(c_2) = 0$。

结论：方程在$(0, +\infty)$内至少有两个实根。