题目
设甲乙两人轮流地向一目标射击,甲先射击,甲乙每次击中目标的概率分别为0.5和0.6,且每次射击相互不影响,则甲先击中目标的概率为( )A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)
设甲乙两人轮流地向一目标射击,甲先射击,甲乙每次击中目标的概率分别为0.5和0.6,且每次射击相互不影响,则甲先击中目标的概率为( )
题目解答
答案
设甲先击中目标的概率为
1. 分析情况：
第一次射击甲就击中目标的概率为0.5
若第一次甲未击中目标（概率为1 - 0.5 = 0.5)，且乙也未击中目标（概率为1 - 0.6 = 0.4），然后甲第二次射击击中目标，这种情况的概率为0.5×0.4×0.5
若前两轮甲、乙都未击中目标，第三轮甲击中目标，概率为0.5×0.4×0.5×0.4×0.5
2. 建立等式：
3. 求解概率：
观察上述等式可知，这是一个首项为0.5，公比为0.5×0.4 = 0.2的等比数列求和。
根据等比数列求和公式
（其中
为首项，
为公比），可得
所以甲先击中目标的概率为
。
解析
步骤 1：分析情况
- 第一次射击甲就击中目标的概率为0.5。
- 若第一次甲未击中目标（概率为1 - 0.5 = 0.5），且乙也未击中目标（概率为1 - 0.6 = 0.4），然后甲第二次射击击中目标，这种情况的概率为0.5×0.4×0.5。
- 若前两轮甲、乙都未击中目标，第三轮甲击中目标，概率为0.5×0.4×0.5×0.4×0.5。
步骤 2：建立等式
- 设甲先击中目标的概率为$p$，则有$p=0.5+0.5\times 0.4\times 0.5+0.5\times 0.4\times 0.5\times 0.4\times 0.5+\cdots$。
步骤 3：求解概率
- 观察上述等式可知，这是一个首项为0.5，公比为0.5×0.4 = 0.2的等比数列求和。
- 根据等比数列求和公式$s=\dfrac {{a}_{1}}{1-q}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比），可得$p=\dfrac {0.5}{1-0.2}=\dfrac {0.5}{0.8}=\dfrac {5}{8}$。
- 第一次射击甲就击中目标的概率为0.5。
- 若第一次甲未击中目标（概率为1 - 0.5 = 0.5），且乙也未击中目标（概率为1 - 0.6 = 0.4），然后甲第二次射击击中目标，这种情况的概率为0.5×0.4×0.5。
- 若前两轮甲、乙都未击中目标，第三轮甲击中目标，概率为0.5×0.4×0.5×0.4×0.5。
步骤 2：建立等式
- 设甲先击中目标的概率为$p$，则有$p=0.5+0.5\times 0.4\times 0.5+0.5\times 0.4\times 0.5\times 0.4\times 0.5+\cdots$。
步骤 3：求解概率
- 观察上述等式可知，这是一个首项为0.5，公比为0.5×0.4 = 0.2的等比数列求和。
- 根据等比数列求和公式$s=\dfrac {{a}_{1}}{1-q}$（其中$a_1$为首项，$q$为公比），可得$p=\dfrac {0.5}{1-0.2}=\dfrac {0.5}{0.8}=\dfrac {5}{8}$。