题目
设甲乙两人轮流地向一目标射击,甲先射击,甲乙每次击中目标的概率分别为0.5和0.6,且每次射击相互不影响,则甲先击中目标的概率为( )A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)A.dfrac (1)(8)
设甲乙两人轮流地向一目标射击,甲先射击,甲乙每次击中目标的概率分别为0.5和0.6,且每次射击相互不影响,则甲先击中目标的概率为( )
题目解答
答案
设甲先击中目标的概率为
1. 分析情况：
第一次射击甲就击中目标的概率为0.5
若第一次甲未击中目标（概率为1 - 0.5 = 0.5)，且乙也未击中目标（概率为1 - 0.6 = 0.4），然后甲第二次射击击中目标，这种情况的概率为0.5×0.4×0.5
若前两轮甲、乙都未击中目标，第三轮甲击中目标，概率为0.5×0.4×0.5×0.4×0.5
2. 建立等式：
3. 求解概率：
观察上述等式可知，这是一个首项为0.5，公比为0.5×0.4 = 0.2的等比数列求和。
根据等比数列求和公式
（其中
为首项，
为公比），可得
所以甲先击中目标的概率为
。
解析
考查要点：本题主要考查几何分布或无限等比数列求和的应用，涉及独立事件的概率计算。
解题核心思路：
甲在每一轮中可能直接击中目标，或在前一轮双方均未击中后再次获得机会。所有可能情况构成一个首项为甲首次击中概率、公比为双方均未击中的概率的等比数列，求和即可得到甲先击中的总概率。
破题关键点：
- 独立事件：每次射击结果互不影响，概率相乘。
- 无限循环结构：若双方均未击中，问题回到初始状态，形成无限递推。
- 等比数列求和：将所有可能情况转化为等比数列求和，应用公式简化计算。
设甲先击中目标的概率为$p$，分析如下：
第一次射击
甲直接击中的概率为$0.5$，此时甲获胜。
若甲未击中且乙也未击中
- 甲未击中的概率为$1 - 0.5 = 0.5$，乙未击中的概率为$1 - 0.6 = 0.4$。
- 此时双方均未击中，问题回到初始状态，甲再次获得机会，概率为$p$。
- 因此，这种情况的总概率为$0.5 \times 0.4 \times p$。
建立方程
综合以上两种情况，总概率满足：
$p = 0.5 + 0.5 \times 0.4 \times p$
解方程
整理方程：
$p = 0.5 + 0.2p \implies p - 0.2p = 0.5 \implies 0.8p = 0.5 \implies p = \frac{0.5}{0.8} = \frac{5}{8}$