题目
5、设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=blambda^k(k=1,2,...)，则lambda=____
5、设离散型随机变量X的分布律为$P(X=k)=b\lambda^{k}(k=1,2,\cdots)$，则$\lambda=$____
题目解答
答案
由题意，离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=k) = b\lambda^k$（$k=1,2,\ldots$，$b>0$）。根据概率和为1的条件，有：
\[
\sum_{k=1}^\infty b\lambda^k = b\lambda \sum_{k=0}^\infty \lambda^k = b\lambda \cdot \frac{1}{1-\lambda} = 1
\]
解得：
\[
b\lambda = 1 - \lambda \implies \lambda = \frac{1}{b+1}
\]
由于 $b>0$，$\lambda$ 必须满足 $0<\lambda<1$，符合几何级数收敛条件。
**答案：** $\boxed{\frac{1}{b+1}}$
解析
考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的基本性质，即所有可能取值的概率之和等于1，以及等比数列求和公式的应用。
解题核心思路：
- 概率归一性：根据分布律的定义，所有概率之和必须等于1，即$\sum_{k=1}^\infty P(X=k) = 1$。
- 等比数列求和：将题目中的概率表达式代入求和公式，转化为等比数列求和问题，利用公式$\sum_{k=1}^\infty \lambda^k = \frac{\lambda}{1-\lambda}$（当$|\lambda| < 1$时成立）。
- 解方程求参数：通过等式联立解出$\lambda$，并验证其合理性（如$0 < \lambda < 1$）。
破题关键点：
- 识别等比数列结构：题目中的概率形式为$b\lambda^k$，其求和可转化为等比数列求和。
- 注意起始项：题目中$k$从1开始，需调整等比数列求和公式的起始项。
根据离散型随机变量分布律的性质，所有概率之和为1：
$\sum_{k=1}^\infty P(X=k) = \sum_{k=1}^\infty b\lambda^k = 1.$
将求和式提取公因子$b\lambda$，得到：
$b\lambda \sum_{k=0}^\infty \lambda^k = b\lambda \cdot \frac{1}{1-\lambda} = 1.$
关键步骤：
- 等比数列求和：$\sum_{k=0}^\infty \lambda^k = \frac{1}{1-\lambda}$（当$|\lambda| < 1$时成立）。
- 联立方程：
$b\lambda \cdot \frac{1}{1-\lambda} = 1 \implies b\lambda = 1 - \lambda.$ - 解方程：
$\lambda = \frac{1}{b+1}.$ - 验证条件：由于$b > 0$，则$\lambda = \frac{1}{b+1}$满足$0 < \lambda < 1$，符合等比数列收敛条件。