题目

14. (5.0分) 设矩阵A=(}1&1&20&1&1的秩为____.

14. (5.0分) 设矩阵$A=\left(\begin{matrix}1&1&2\\0&1&1\end{matrix}\right)$，$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$为线性无关的3维列向量组，则向量组$A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3}$的秩为____.

题目解答

答案

为了确定向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $ 的秩，我们需要分析矩阵 $ A $ 的性质以及它如何影响向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 的秩。 首先，我们注意到矩阵 $ A $ 是一个 $ 2 \times 3 $ 矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] 矩阵 $ A $ 的秩是 $ A $ 的线性无关行（或列）的最大数量。我们可以通过将 $ A $ 化简为行阶梯形来找到它的秩： \[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] 这个矩阵已经处于行阶梯形，有两行非零行。因此，矩阵 $ A $ 的秩为2。 现在，考虑向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $。由于 $ A $ 是一个 $ 2 \times 3 $ 矩阵，每个 $ A\alpha_i $ 是一个2维向量。因此，向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $ 由三个2维向量组成。在2维空间中，任何三个向量都是线性相关的，因为2维空间的最大线性无关向量数为2。 然而，我们还需要确定向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $ 的最大线性无关向量数。这由矩阵 $ A $ 的秩和向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 的秩的最小值决定。由于矩阵 $ A $ 的秩为2，且向量组 $ \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 $ 的秩为3（因为它们是线性无关的），向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $ 的秩为2。 因此，向量组 $ A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3 $ 的秩为 $\boxed{2}$。

解析

本题考查矩阵的秩以及矩阵乘法对向量组秩的影响。解题思路如下：

  1. 首先，我们要明确矩阵的秩的定义，即矩阵矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大个数。对于给定的矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}$，我们可以通过观察其行阶梯形来确定它的秩。
    • 矩阵$A$已经是行阶梯形矩阵，它有$1)和(2)两行非零行。根据行阶梯形矩阵秩的定义，非零行的数量就是矩阵的秩，所以\(r(A)=2$。
  2. 然后，考虑向量组$A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3}}$。因为$A$是$2\times3$矩阵，$\alpha_{i}(i = = 1,2,3)$是$3$维列向量，根据矩阵乘法规则，$A\alpha_{i}$是$2$维列向量，所以向量组$A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3}$是由三个$2$维向量组成。
  3. 最后，根据矩阵乘法与向量组秩的关系：设$B = (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$，则$(A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3})=AB$。根据矩阵秩的性质$r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}$。
    • 已知$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，所以$r(B)=r(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}) = 3$，又已求得$r(A)=2$。
    • 那么$r(A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3})=r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}=\min\{2,3\}=2$。
    • 同时，因为$1) \(A$的秩为$2$，说明$A$的行向量组线性无关，存在非零的$2$维向量可以由$A$的行向量组线性表示，所以$A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3}$中至少有$2$个向量线性无关，即$r(A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3})\geq2$。
    • 综合可得$r(A\alpha_{1},A\alpha_{2},A\alpha_{3}) = 2$。