题目
1.(5分)求极限 lim _(xarrow 0)(dfrac (1)(ln (1+x))-dfrac (1)(x))

题目解答
答案

解析
考查要点:本题主要考查函数极限的计算,特别是洛必达法则的应用。题目涉及分式极限的求解,需要识别出不定型(如$\frac{0}{0}$或$\infty/\infty$),并通过求导简化表达式。
解题核心思路:
- 识别不定型:当$x \to 0$时,分子和分母均趋近于$0$,属于$\frac{0}{0}$型不定式。
- 应用洛必达法则:对分子和分母分别求导,将原极限转化为新的分式极限。
- 化简与再次求导:若新分式仍为不定型,重复应用洛必达法则,直到可直接代入求值。
破题关键点:
- 正确求导:分子和分母的导数需准确计算,尤其注意复合函数的求导规则。
- 化简技巧:通过泰勒展开或近似展开简化表达式,避免复杂计算。
原题:求极限
$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}$
步骤1:识别不定型
当$x \to 0$时:
- 分子:$x - \ln(1+x) \to 0 - 0 = 0$
- 分母:$x \ln(1+x) \to 0 \cdot 0 = 0$
因此,原式为$\frac{0}{0}$型不定式,可应用洛必达法则。
步骤2:第一次洛必达法则
对分子和分母分别求导:
- 分子导数:$\frac{d}{dx}[x - \ln(1+x)] = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$
- 分母导数:$\frac{d}{dx}[x \ln(1+x)] = \ln(1+x) + \frac{x}{1+x}$
原极限变为:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1+x}}{\ln(1+x) + \frac{x}{1+x}}$
步骤3:化简表达式
将分子和分母通分:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{(1+x)\ln(1+x) + x}$
步骤4:泰勒展开近似
当$x \to 0$时,$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2}$,代入分母:
$(1+x)\left(x - \frac{x^2}{2}\right) + x = x + x^2 - \frac{x^3}{2} - \frac{x^2}{2} + x = 2x + \frac{x^2}{2} + \cdots$
步骤5:代入化简后的表达式
分子为$x$,分母为$2x + \cdots$,因此:
$\lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$