题目
设随机变量X的数学期望和方差均是6，那么P0A. (1)/(6)B. (5)/(6)C. (1)/(3)D. (1)/(2)
设随机变量$X$的数学期望和方差均是6，那么$P\{0< X< 12\}\geq()$.
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
题目解答
答案
B. $\frac{5}{6}$
解析
步骤 1：确定期望值和方差
已知随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X) = 6$ 和方差 $Var(X) = 6$。因此，标准差 $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{6}$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任何随机变量 $X$，其值偏离期望值 $E(X)$ 至少 $k\sigma$ 的概率最多为 $\frac{1}{k^2}$。即：
\[ P(|X - E(X)| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
等价地，可以表示为：
\[ P(|X - E(X)| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
步骤 3：计算概率 $P(0 < X < 12)$
我们需要计算 $P(0 < X < 12)$，这可以重写为：
\[ P(0 < X < 12) = P(-6 < X - 6 < 6) = P(|X - 6| < 6) \]
根据切比雪夫不等式，我们有：
\[ k\sigma = 6 \implies k = \frac{6}{\sigma} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \]
代入切比雪夫不等式，得到：
\[ P(|X - 6| < 6) \geq 1 - \frac{1}{(\sqrt{6})^2} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]
已知随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X) = 6$ 和方差 $Var(X) = 6$。因此，标准差 $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{6}$。
步骤 2：应用切比雪夫不等式
切比雪夫不等式指出，对于任何随机变量 $X$，其值偏离期望值 $E(X)$ 至少 $k\sigma$ 的概率最多为 $\frac{1}{k^2}$。即：
\[ P(|X - E(X)| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]
等价地，可以表示为：
\[ P(|X - E(X)| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
步骤 3：计算概率 $P(0 < X < 12)$
我们需要计算 $P(0 < X < 12)$，这可以重写为：
\[ P(0 < X < 12) = P(-6 < X - 6 < 6) = P(|X - 6| < 6) \]
根据切比雪夫不等式，我们有：
\[ k\sigma = 6 \implies k = \frac{6}{\sigma} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \]
代入切比雪夫不等式，得到：
\[ P(|X - 6| < 6) \geq 1 - \frac{1}{(\sqrt{6})^2} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \]