题目
1 1-|||-已知α= 1 ,= 2 , =alpha beta ^T, 求A^4.-|||-1 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义矩阵A
根据题目，$a = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ]$，$\beta = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$，所以矩阵$A = a{\beta}^{T} = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 2：计算矩阵A
$A = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 3：计算A^2
$A^2 = A \cdot A = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 4：计算A^3
$A^3 = A^2 \cdot A = \left [ \begin{matrix} 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 5：计算A^4
$A^4 = A^3 \cdot A = \left [ \begin{matrix} 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 27 & 54 & 0\\ 27 & 54 & 0\\ 27 & 54 & 0\end{matrix} \right ]$。
根据题目，$a = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ]$，$\beta = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$，所以矩阵$A = a{\beta}^{T} = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 2：计算矩阵A
$A = \left [ \begin{matrix} 1\\ 1\\ 1\end{matrix} \right ] \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 3：计算A^2
$A^2 = A \cdot A = \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 4：计算A^3
$A^3 = A^2 \cdot A = \left [ \begin{matrix} 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\\ 3 & 6 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\end{matrix} \right ]$。
步骤 5：计算A^4
$A^4 = A^3 \cdot A = \left [ \begin{matrix} 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\\ 9 & 18 & 0\end{matrix} \right ] \cdot \left [ \begin{matrix} 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 2 & 0\end{matrix} \right ] = \left [ \begin{matrix} 27 & 54 & 0\\ 27 & 54 & 0\\ 27 & 54 & 0\end{matrix} \right ]$。