单 11. 函数y=(1)/(x^2)+1是（）A. 偶函数B. 奇函数C. 单调函数D. 无界函数

本题主要考察函数的基本性质，包括奇偶性、单调性、有界性的判断。

1. 奇偶性判断

函数奇偶性的定义：

• 偶函数：若对定义域内任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$；
• 奇函数：若对定义域内任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。

对于函数$y=f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，计算$f(-x)$：
$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$
满足偶函数定义，故A选项正确。

2. 奇函数判断

由上述计算，$f(-x)=f(x)\neq -f(x)$（除非$f(x)=0$，但本题$f(x)=\frac{1}{x^2+1}\geq\frac{1}{1}=1>0$），故B选项错误。

3. 单调函数判断

单调函数指在定义域内单调递增或递减。
函数$y=\frac{1}{x^2+1}$的定义域为$\mathbb{R}$，取$x_1=-1$，$x_2=0$，$x_3=1$：

• $f(-1)=\frac{1}{(-1)^2+1}=\frac{1}{2}$
• $f(0)=\frac{1}{0^2+1}=1$
• $f(1)=\frac{1}{1^2+1}=\frac{1}{2}$

显然$f(-1)f(1)$，函数先增后减，不单调，故C选项错误。

4. 无界函数判断

无界函数指不存在$M>0$使得$|f(x)|\leq M$对所有$x$成立。
对于$y=\frac{1}{x^2+1}$，当$x\to\infty$时，$x^2+1\to\infty$，故$y\to0$，且对任意$x$，$y=\frac{1}{x^2+1}\leq1$（因$x^2+1\geq1$），存在$M=1$使$|y|\leq1$，故函数有界，D选项错误。