题目
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asin (A+C)/(2)=bsin A． (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知$a\sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
题目解答
答案
解：(1)asin$ \frac {A+C}{2}$=bsinA，即为asin$ \frac {π-B}{2}$=acos$ \frac {B}{2}$=bsinA，
可得sinAcos$ \frac {B}{2}$=sinBsinA=2sin$ \frac {B}{2}$cos$ \frac {B}{2}$sinA，
∵sinA＞0，
∴cos$ \frac {B}{2}$=2sin$ \frac {B}{2}$cos$ \frac {B}{2}$，
若cos$ \frac {B}{2}$=0，可得B=(2k+1)π，k∈Z不成立，
∴sin$ \frac {B}{2}$=$ \frac {1}{2}$，
由0＜B＜π，可得B=$ \frac {π}{3}$；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，
由余弦定理可得b=$ \sqrt {a^{2}+1-2a\cdot 1\cdot cos \frac {π}{3}}$=$ \sqrt {a^{2}-a+1}$，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，
解得$ \frac {1}{2}$＜a＜2，
可得△ABC面积S=$ \frac {1}{2}$a•sin$ \frac {π}{3}$=$ \frac { \sqrt {3}}{4}$a∈($ \frac { \sqrt {3}}{8}$，$ \frac { \sqrt {3}}{2}$)．
可得sinAcos$ \frac {B}{2}$=sinBsinA=2sin$ \frac {B}{2}$cos$ \frac {B}{2}$sinA，
∵sinA＞0，
∴cos$ \frac {B}{2}$=2sin$ \frac {B}{2}$cos$ \frac {B}{2}$，
若cos$ \frac {B}{2}$=0，可得B=(2k+1)π，k∈Z不成立，
∴sin$ \frac {B}{2}$=$ \frac {1}{2}$，
由0＜B＜π，可得B=$ \frac {π}{3}$；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，
由余弦定理可得b=$ \sqrt {a^{2}+1-2a\cdot 1\cdot cos \frac {π}{3}}$=$ \sqrt {a^{2}-a+1}$，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2-a+1＞1且1+a2-a+1＞a2，
解得$ \frac {1}{2}$＜a＜2，
可得△ABC面积S=$ \frac {1}{2}$a•sin$ \frac {π}{3}$=$ \frac { \sqrt {3}}{4}$a∈($ \frac { \sqrt {3}}{8}$，$ \frac { \sqrt {3}}{2}$)．
解析
步骤 1：利用三角形内角和定理
在三角形ABC中，内角和为180度，即A+B+C=π。因此，$\frac{A+C}{2}=\frac{\pi-B}{2}$。
步骤 2：应用正弦定理
根据正弦定理，有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。题目中给出$a\sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$，代入$\frac{A+C}{2}=\frac{\pi-B}{2}$，得到$a\sin \frac{\pi-B}{2}=b\sin A$。
步骤 3：化简并求解B
由于$\sin \frac{\pi-B}{2}=\cos \frac{B}{2}$，所以$a\cos \frac{B}{2}=b\sin A$。根据正弦定理，$a\cos \frac{B}{2}=b\sin A$可以写成$\sin A\cos \frac{B}{2}=\sin B\sin A$。因为$\sin A>0$，所以$\cos \frac{B}{2}=\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$。由于$\cos \frac{B}{2}\neq 0$，所以$\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，从而$B=\frac{\pi}{3}$。
步骤 4：求解△ABC面积的取值范围
由余弦定理，$b=\sqrt{a^2+1-2a\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi}{3}}=\sqrt{a^2-a+1}$。因为△ABC为锐角三角形，所以$a^2+a^2-a+1>1$且$1+a^2-a+1>a^2$，解得$\frac{1}{2}
在三角形ABC中，内角和为180度，即A+B+C=π。因此，$\frac{A+C}{2}=\frac{\pi-B}{2}$。
步骤 2：应用正弦定理
根据正弦定理，有$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。题目中给出$a\sin \frac{A+C}{2}=b\sin A$，代入$\frac{A+C}{2}=\frac{\pi-B}{2}$，得到$a\sin \frac{\pi-B}{2}=b\sin A$。
步骤 3：化简并求解B
由于$\sin \frac{\pi-B}{2}=\cos \frac{B}{2}$，所以$a\cos \frac{B}{2}=b\sin A$。根据正弦定理，$a\cos \frac{B}{2}=b\sin A$可以写成$\sin A\cos \frac{B}{2}=\sin B\sin A$。因为$\sin A>0$，所以$\cos \frac{B}{2}=\sin B=2\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}$。由于$\cos \frac{B}{2}\neq 0$，所以$\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$，从而$B=\frac{\pi}{3}$。
步骤 4：求解△ABC面积的取值范围
由余弦定理，$b=\sqrt{a^2+1-2a\cdot 1\cdot \cos \frac{\pi}{3}}=\sqrt{a^2-a+1}$。因为△ABC为锐角三角形，所以$a^2+a^2-a+1>1$且$1+a^2-a+1>a^2$，解得$\frac{1}{2}