题目
10.(判断题，10分) 若级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛，则lim_(ntoinfty)(u_(n)^2-u_(n)+3)=3。A. 对B. 错
10.(判断题，10分) 若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}-u_{n}+3)=3$。
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查级数收敛的性质以及极限的运算法则。解题的关键思路是先根据级数收敛的性质得出$\lim_{n\to\infty}u_{n}$的值，再利用极限的四则运算法则计算$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}-u_{n}+3)$。
- 根据级数收敛的性质求$\lim_{n\to\infty}u_{n}$：
已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，根据级数收敛的必要条件：若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$，可得$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$。 - 利用极限的四则运算法则计算$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}-u_{n}+3)$：
根据极限的四则运算法则：若$\lim_{n\to\infty}a_{n}=A$，$\lim_{n\to\infty}b_{n}=B$，则$\lim_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=\lim_{n\to\infty}a_{n}\pm\lim_{n\to\infty}b_{n}=A\pm B$，$\lim_{n\to\infty}(a_{n}\cdot b_{n})=\lim_{n\to\infty}a_{n}\cdot\lim_{n\to\infty}b_{n}=A\cdot B$，$\lim_{n\to\infty}C = C$（$C$为常数）。- 计算$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}$：
因为$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$，所以$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}=\lim_{n\to\infty}(u_{n}\cdot u_{n})=\lim_{n\to\infty}u_{n}\cdot\lim_{n\to\infty}u_{n}=0\times0 = 0$。 - 计算$\lim_{n\to\infty}u_{n}$：
已知$\lim_{n\to\infty}u_{n}=0$。 - 计算$\lim_{n\to\infty}3$：
因为$3$是常数，所以$\lim_{n\to\infty}3 = 3$。 - 计算$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}-u_{n}+3)$：
$\lim_{n\to\infty}(u_{n}^{2}-u_{n}+3)=\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}-\lim_{n\to\infty}u_{n}+\lim_{n\to\infty}3=0 - 0 + 3 = 3$。
- 计算$\lim_{n\to\infty}u_{n}^{2}$：