题目

设随机变量X~B(3,0.4)，且随机变量Y=(X(3-X))/(2)，则P(Y=1)=____. (答案请填写小数)

设随机变量X~B(3,0.4)，且随机变量$Y=\frac{X(3-X)}{2}$，则P{Y=1}=____. (答案请填写小数)

题目解答

答案

解方程 $\frac{X(3-X)}{2} = 1$，得 $X^2 - 3X + 2 = 0$，解得 $X = 1$ 或 $X = 2$。 由二项分布 $X \sim B(3, 0.4)$，计算概率： - $P(X=1) = \binom{3}{1} \cdot 0.4 \cdot (0.6)^2 = 0.432$， - $P(X=2) = \binom{3}{2} \cdot (0.4)^2 \cdot 0.6 = 0.288$。 因此，$P(Y=1) = P(X=1) + P(X=2) = 0.432 + 0.288 = 0.72$。 答案：$\boxed{0.72}$

解析

本题考查二项分布的概率计算以及随机变量之间的关系。解题的关键思路是先根据$Y$与$X$的关系式求出$Y = 1$时$X$的取值，再利用二项分布的概率公式分别计算$X$取这些值时的概率，最后根据概率的加法公式求出$P\{Y = 1\}$。

  1. 求解$Y = 1$时$X$的取值：
    已知$Y=\frac{X(3 - X)}{2}$，令$Y = 1$，则可得方程$\frac{X(3 - X)}{2}=1$。
    方程两边同时乘以$2$得到$X(3 - X)=2$，展开括号得$3X - X^2 = 2$，移项化为标准的一元二次方程形式$X^2 - 3X + 2 = 0$。
    对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（这里$a = 1$，$b = -3$，$c = 2$），根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，可得：
    $X=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2 - 4\times1\times2}}{2\times1}=\frac{3\pm\sqrt{9 - 8}}{2}=\frac{3\pm1}{2}$
    解得$X_1=\frac{3 + 1}{2}=2$，$X_2=\frac{3 - 1}{2}=1$。
  2. 计算$X$取不同值时的概率：
    因为随机变量$X\sim B(3,0.4)$，二项分布的概率公式为$P(X = k)=\binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n - k}$，其中$n = 3$，$p = 0.4$，$k$为$X$的取值。
    • 当$k = 1$时，$P(X = 1)=\binom{3}{1}\times0.4^1\times(1 - 0.4)^{3 - 1}$
      根据组合数公式$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$，可得$\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3\times2!}{1\times2!}=3$。
      所以$P(X = 1)=3\times0.4\times0.6^2=3\times0.4\times0.36 = 0.432$。
    • 当$k = 2$时，$P(X = 2)=\binom{3}{2}\times0.4^2\times(1 - 0.4)^{3 - 2}$
      $\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3\times2!}{2!\times1!}=3$。
      所以$P(X = 2)=3\times0.4^2\times0.6=3\times0.16\times0.6 = 0.288$。
  3. 计算$P\{Y = 1\}$：
    因为$Y = 1$时$X = 1$或$X = 2$，且$X = 1$与$X = 2$是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$，可得$P(Y = 1)=P(X = 1)+P(X = 2)=0.432 + 0.288 = 0.72$。