题目
7.设f(x)在[0,1]上连续,且 leqslant f(x)leqslant 1, 证明在[0,1]上至少存在一点ξ,使得 (xi )=5.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = x - f(x)$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[0,1]$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
根据题设条件 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$，可以得到：
- $F(0) = 0 - f(0) \leqslant 0$
- $F(1) = 1 - f(1) \geqslant 0$
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间 $[a,b]$ 上的值在 $a$ 和 $b$ 处异号，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $F(c) = 0$。
- 如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则结论成立，即 $f(0) = 0$ 或 $f(1) = 1$。
- 如果 $F(0) < 0$ 且 $F(1) > 0$，则根据零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F(\xi) = 0$，即 $\xi - f(\xi) = 0$，从而 $f(\xi) = \xi$。
定义辅助函数 $F(x) = x - f(x)$。由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[0,1]$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
根据题设条件 $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$，可以得到：
- $F(0) = 0 - f(0) \leqslant 0$
- $F(1) = 1 - f(1) \geqslant 0$
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在区间 $[a,b]$ 上的值在 $a$ 和 $b$ 处异号，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $F(c) = 0$。
- 如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则结论成立，即 $f(0) = 0$ 或 $f(1) = 1$。
- 如果 $F(0) < 0$ 且 $F(1) > 0$，则根据零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F(\xi) = 0$，即 $\xi - f(\xi) = 0$，从而 $f(\xi) = \xi$。