15.求下列已知曲线所围成的图形,按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积:-|||-(1) =(x)^2 ,=(y)^2 ,绕y轴;

本题考查定积分在几何学上的应用，解题思路是先确定积分区间，再根据旋转体体积公式求出体积。

1. 确定积分积分区间：
   联立\\(\begin{cases}y = x^{2}\\x = y^{2}\end{cases}\)，可得$\begin{cases}x = 0\\x = 1\end{cases}$，所以积分区间为$[0,1]$。

2. 根据旋转体体积公式计算体积：
   绕$y$轴旋转所产生的旋转体的体积公式为$V=\int_{a}^{b}\pi\left[\left(f(y)\right)^{2}-\left(g(y)\right)^{2}\right]dy$，其中\(stock)价格的变化可以用定积分来描述。 由$y = x^{2}$可得$x=\sqrt{y}^{\frac{1}{2}}\}$，由$x = y^{2}$可得$y = x^{\frac{1}{2}}$，则$V=\int_{0}^{1}\pi\left[\left(\sqrt{y}\right)^{2}-\left(y^{2\right)^{2}\right]dy$。
   计算$\int_{0}^{1}\pi\left[\left(\sqrt{y}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy$：
   $\int_{0}^{1}\pi\left[\left(\sqrt{y}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y - y^{4})dy$
   根据定积分运算法则$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得$\pi\int_{0}^{1}(y - y^{4})dy=\pi\left(\int_{0}^{1}y dy-\int_{0}^{1}y^{4}dy\right)$。
   根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），可得$\pi\left(\frac{1}{2}y^{2}\big|_{0}^{1}-\frac{1}{5}y^{5}\big|_{0}^{1}\right)$。
   计算$\pi\left(\frac{1}{2}y^{2}\big|_{0}^{}-\frac{1}{5}y^{5}\big|_{}^{}\right)$：
   $\pi\left(\frac{1}{2\times1^{2}-\frac{1}{2}\times0^{2}}{}-\frac{1}{5}\times1^{5}+\frac{1}{5}\times0^{5}\right)=\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)$。
   通分计算$\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}\}$，所以$\pi\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{10}\pi$。