题目
求 I=int_(L)(e^x sin y-m y) d x+(e^x cos y-m) d y，其中L是从A(a，0)经y=sqrt(ax-x^2)到O(0，0)的弧。
求 $I=\int_{L}(e^{x} \sin y-m y) d x+(e^{x} \cos y-m) d y$，其中L是从A(a，0)经$y=\sqrt{ax-x^{2}}$到O(0，0)的弧。
题目解答
答案
将曲线 $ L $ 与线段 $ OA $ 构成闭合曲线 $ C $，应用格林公式。设 $ P = e^x \sin y - my $，$ Q = e^x \cos y - m $，则
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m.
\]
闭合曲线积分变为
\[
\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D m \, dA = m \cdot \text{面积}.
\]
区域 $ D $ 为圆 $ (x - \frac{a}{2})^2 + y^2 \leq \left(\frac{a}{2}\right)^2 $ 的上半部分，面积为
\[
\frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}.
\]
线段 $ OA $ 上积分
\[
\int_{OA} Pdx + Qdy = \int_0^a 0 \, dx = 0.
\]
故原积分为
\[
I = m \cdot \frac{\pi a^2}{8} = \boxed{\frac{\pi m a^2}{8}}.
\]
解析
步骤 1：定义曲线和函数
设曲线 $L$ 为从点 $A(a, 0)$ 经过 $y = \sqrt{ax - x^2}$ 到点 $O(0, 0)$ 的弧。定义函数 $P(x, y) = e^x \sin y - my$ 和 $Q(x, y) = e^x \cos y - m$。
步骤 2：应用格林公式
将曲线 $L$ 与线段 $OA$ 构成闭合曲线 $C$，应用格林公式。格林公式表明，对于闭合曲线 $C$ 上的积分，有
\[ \oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA. \]
计算偏导数，得到
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m. \]
因此，
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m. \]
步骤 3：计算闭合曲线积分
闭合曲线积分变为
\[ \oint_C Pdx + Qdy = \iint_D m \, dA = m \cdot \text{面积}. \]
区域 $D$ 为圆 $(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 \leq \left(\frac{a}{2}\right)^2$ 的上半部分，面积为
\[ \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}. \]
因此，
\[ \oint_C Pdx + Qdy = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：计算线段 $OA$ 上的积分
线段 $OA$ 上的积分
\[ \int_{OA} Pdx + Qdy = \int_0^a (e^x \sin 0 - mx) dx + (e^x \cos 0 - m) dy = \int_0^a (-mx) dx = -\frac{ma^2}{2}. \]
但注意到，由于 $y = 0$，$dy = 0$，所以线段 $OA$ 上的积分实际上为零。
步骤 5：计算原积分
原积分为
\[ I = \oint_C Pdx + Qdy - \int_{OA} Pdx + Qdy = m \cdot \frac{\pi a^2}{8} - 0 = \frac{\pi m a^2}{8}. \]
设曲线 $L$ 为从点 $A(a, 0)$ 经过 $y = \sqrt{ax - x^2}$ 到点 $O(0, 0)$ 的弧。定义函数 $P(x, y) = e^x \sin y - my$ 和 $Q(x, y) = e^x \cos y - m$。
步骤 2：应用格林公式
将曲线 $L$ 与线段 $OA$ 构成闭合曲线 $C$，应用格林公式。格林公式表明，对于闭合曲线 $C$ 上的积分，有
\[ \oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dA. \]
计算偏导数，得到
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = e^x \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = e^x \cos y - m. \]
因此，
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = m. \]
步骤 3：计算闭合曲线积分
闭合曲线积分变为
\[ \oint_C Pdx + Qdy = \iint_D m \, dA = m \cdot \text{面积}. \]
区域 $D$ 为圆 $(x - \frac{a}{2})^2 + y^2 \leq \left(\frac{a}{2}\right)^2$ 的上半部分，面积为
\[ \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{8}. \]
因此，
\[ \oint_C Pdx + Qdy = m \cdot \frac{\pi a^2}{8}. \]
步骤 4：计算线段 $OA$ 上的积分
线段 $OA$ 上的积分
\[ \int_{OA} Pdx + Qdy = \int_0^a (e^x \sin 0 - mx) dx + (e^x \cos 0 - m) dy = \int_0^a (-mx) dx = -\frac{ma^2}{2}. \]
但注意到，由于 $y = 0$，$dy = 0$，所以线段 $OA$ 上的积分实际上为零。
步骤 5：计算原积分
原积分为
\[ I = \oint_C Pdx + Qdy - \int_{OA} Pdx + Qdy = m \cdot \frac{\pi a^2}{8} - 0 = \frac{\pi m a^2}{8}. \]