题目
用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比，子铁锤敲打第一次时能把钉子敲入2.00cm，如果铁锤第二次敲打时的速度与第一次完全相同，那么第二次敲击使钉子的深度增加了_____cm（填数值只保留2位有效数字）
用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比，子铁锤敲打第一次时能把钉子敲入2.00cm，如果铁锤第二次敲打时的速度与第一次完全相同，那么第二次敲击使钉子的深度增加了_____cm（填数值只保留2位有效数字）
题目解答
答案
设阻力F=kh，k为常数，h为深度，因为第一次和第二次敲打钉子的速度相同，可知两次铁锤对钉子做的功相等，则两次阻力对钉子做的功相同；
所示图像的面积代表阻力对铁钉做的功
有：
，即
，其中
，代入数值解得：
解析
步骤 1：确定阻力与深度的关系
根据题目描述，木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比，即阻力F与深度h的关系为F = kh，其中k为常数。
步骤 2：分析铁锤敲击钉子的能量转换
铁锤敲击钉子时，铁锤对钉子做的功等于钉子克服阻力所做的功。由于铁锤两次敲击的速度相同，铁锤对钉子做的功相等，即两次阻力对钉子做的功相等。
步骤 3：计算钉子深度增加量
设第一次敲击后钉子进入木板的深度为h1，第二次敲击后钉子进入木板的深度为h2，钉子深度增加量为Δh = h2 - h1。根据阻力与深度的关系，阻力对钉子做的功可以用图像的面积表示，即阻力对钉子做的功等于图像的面积。由于两次敲击铁锤对钉子做的功相等，所以两次阻力对钉子做的功相等，即${S}_{A}={S}_{B}$，其中${S}_{A}$和${S}_{B}$分别表示第一次和第二次敲击时阻力对钉子做的功。根据图像的面积公式，有$\dfrac {1}{2}k{h}_{1}\cdot {h}_{1}=\dfrac {1}{2}k({h}_{1}+\Delta h)\cdot \Delta h$，其中${h}_{1}=2cm$，代入数值解得：$\Delta h\approx 3.24cm$。
根据题目描述，木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比，即阻力F与深度h的关系为F = kh，其中k为常数。
步骤 2：分析铁锤敲击钉子的能量转换
铁锤敲击钉子时，铁锤对钉子做的功等于钉子克服阻力所做的功。由于铁锤两次敲击的速度相同，铁锤对钉子做的功相等，即两次阻力对钉子做的功相等。
步骤 3：计算钉子深度增加量
设第一次敲击后钉子进入木板的深度为h1，第二次敲击后钉子进入木板的深度为h2，钉子深度增加量为Δh = h2 - h1。根据阻力与深度的关系，阻力对钉子做的功可以用图像的面积表示，即阻力对钉子做的功等于图像的面积。由于两次敲击铁锤对钉子做的功相等，所以两次阻力对钉子做的功相等，即${S}_{A}={S}_{B}$，其中${S}_{A}$和${S}_{B}$分别表示第一次和第二次敲击时阻力对钉子做的功。根据图像的面积公式，有$\dfrac {1}{2}k{h}_{1}\cdot {h}_{1}=\dfrac {1}{2}k({h}_{1}+\Delta h)\cdot \Delta h$，其中${h}_{1}=2cm$，代入数值解得：$\Delta h\approx 3.24cm$。