题目

增广矩阵1 0 3 -2-|||-0 1 2 3-|||-0 0 a-3 b-4所对应的线性方程组什么时候没有解1 0 3 -2-|||-0 1 2 3-|||-0 0 a-3 b-41 0 3 -2-|||-0 1 2 3-|||-0 0 a-3 b-41 0 3 -2-|||-0 1 2 3-|||-0 0 a-3 b-41 0 3 -2-|||-0 1 2 3-|||-0 0 a-3 b-4

增广矩阵 $\begin{pmatrix} 1& 0& 3&-2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& a-3&b-4 \end{pmatrix}$ 所对应的线性方程组什么时候没有解

$a=3,b=4$
$a\ne3,b\ne4$
$a\ne3,b=4$
$a=3,b\ne4$

题目解答

答案

解：对于增广矩阵 $\overline{A} =\begin{pmatrix} 1& 0& 3&-2\\ 0& 1& 2& 3\\ 0& 0& a-3&b-4 \end{pmatrix}$

当 $r\left(A\right)\ne r\left(\overline{A}\right)$ 时，方程组无解

观察此增广矩阵，即 $\left\{\begin{matrix} r\left ( A \right ) =2\\ r\left (\overline{ A} \right ) =3 \end{matrix}\right.$ 时，方程组无解

∴ $\left\{\begin{matrix} a-3=0\\ b-4\ne 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b\ne 4 \end{matrix}\right.$

故本题应选D

解析

步骤 1：理解增广矩阵
增广矩阵是将线性方程组的系数矩阵和常数项合并成一个矩阵。对于方程组
$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}
$$
其增广矩阵为
$$
\begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：确定方程组无解的条件
方程组无解的条件是系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即
$$
r(A) < r(\overline{A})
$$
步骤 3：分析给定的增广矩阵
观察给定的增广矩阵，当$a \neq 3$且$b \neq 4$时，方程组无解。