题目
设函数 y(x)满足微分方程 (cos )^2xcdot y'+y=tan x, 且当 =dfrac (pi )(4) 时, =0, 则当 x=0 时, y=-|||-()-|||-A. dfrac (pi )(4) B. -dfrac (pi )(4)-|||-C. -1 D. 1
题目解答
答案
解析
步骤 1：将微分方程化为标准形式
给定的微分方程是 ${\cos }^{2}x\cdot y'+y=\tan x$。首先，将方程两边同时除以 ${\cos }^{2}x$，得到 $y' + \frac{1}{{\cos }^{2}x}y = \frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}$。由于 $\frac{1}{{\cos }^{2}x} = {\sec }^{2}x$，方程可以写为 $y' + {\sec }^{2}x\cdot y = \tan x\sec x$。
步骤 2：求解一阶线性非齐次微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]$，其中 $P(x) = {\sec }^{2}x$，$Q(x) = \tan x\sec x$。因此，$y = e^{-\int {\sec }^{2}xdx}[\int \tan x\sec x e^{\int {\sec }^{2}xdx}dx + C]$。
步骤 3：计算积分
$\int {\sec }^{2}xdx = \tan x$，所以 $e^{-\int {\sec }^{2}xdx} = e^{-\tan x}$。接下来计算 $\int \tan x\sec x e^{\tan x}dx$。由于 $\tan x\sec x = \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$，则 $\int \tan x\sec x e^{\tan x}dx = \int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}e^{\tan x}dx$。令 $u = \tan x$，则 $du = {\sec }^{2}xdx$，所以 $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}e^{\tan x}dx = \int ue^udu = ue^u - e^u + C = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$。因此，$y = e^{-\tan x}[\tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C] = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$。
步骤 4：确定常数C
当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$y = 0$，代入得到 $0 = \tan \frac{\pi}{4} - 1 + Ce^{-\tan \frac{\pi}{4}} = 1 - 1 + Ce^{-1} = Ce^{-1}$，所以 $C = 0$。因此，$y = \tan x - 1$。
步骤 5：求解当 $x = 0$ 时的 $y$ 值
当 $x = 0$ 时，$y = \tan 0 - 1 = 0 - 1 = -1$。
给定的微分方程是 ${\cos }^{2}x\cdot y'+y=\tan x$。首先，将方程两边同时除以 ${\cos }^{2}x$，得到 $y' + \frac{1}{{\cos }^{2}x}y = \frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}$。由于 $\frac{1}{{\cos }^{2}x} = {\sec }^{2}x$，方程可以写为 $y' + {\sec }^{2}x\cdot y = \tan x\sec x$。
步骤 2：求解一阶线性非齐次微分方程
这是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为 $y = e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C]$，其中 $P(x) = {\sec }^{2}x$，$Q(x) = \tan x\sec x$。因此，$y = e^{-\int {\sec }^{2}xdx}[\int \tan x\sec x e^{\int {\sec }^{2}xdx}dx + C]$。
步骤 3：计算积分
$\int {\sec }^{2}xdx = \tan x$，所以 $e^{-\int {\sec }^{2}xdx} = e^{-\tan x}$。接下来计算 $\int \tan x\sec x e^{\tan x}dx$。由于 $\tan x\sec x = \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}$，则 $\int \tan x\sec x e^{\tan x}dx = \int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}e^{\tan x}dx$。令 $u = \tan x$，则 $du = {\sec }^{2}xdx$，所以 $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}e^{\tan x}dx = \int ue^udu = ue^u - e^u + C = \tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C$。因此，$y = e^{-\tan x}[\tan x e^{\tan x} - e^{\tan x} + C] = \tan x - 1 + Ce^{-\tan x}$。
步骤 4：确定常数C
当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时，$y = 0$，代入得到 $0 = \tan \frac{\pi}{4} - 1 + Ce^{-\tan \frac{\pi}{4}} = 1 - 1 + Ce^{-1} = Ce^{-1}$，所以 $C = 0$。因此，$y = \tan x - 1$。
步骤 5：求解当 $x = 0$ 时的 $y$ 值
当 $x = 0$ 时，$y = \tan 0 - 1 = 0 - 1 = -1$。