题目
2.求下列齐次方程满足所给初值条件的特解：(1)(y^2-3x^2)dy+2xydx=0,y|_(x=0)=1；
2.求下列齐次方程满足所给初值条件的特解：
$(1)(y^{2}-3x^{2})dy+2xydx=0,y|_{x=0}=1$；
题目解答
答案
将原方程改写为：
\[
\frac{dx}{dy} = -\frac{y^2 - 3x^2}{2xy}
\]
令 $u = \frac{x}{y}$，则 $x = uy$，代入得：
\[
u + y\frac{du}{dy} = -\frac{1}{2u} + \frac{3u}{2}
\]
分离变量并积分：
\[
\ln |u^2 - 1| = \ln |y| + C_1 \implies u^2 - 1 = Cy
\]
代入 $u = \frac{x}{y}$ 并利用初始条件 $y|_{x=0} = 1$ 求得 $C = -1$，得：
\[
\frac{x^2}{y^2} - 1 = -y \implies y^3 = y^2 - x^2
\]
**答案：** $\boxed{y^3 = y^2 - x^2}$
解析
步骤 1：将原方程改写为微分形式
将原方程 $(y^{2}-3x^{2})dy+2xydx=0$ 改写为微分形式，得到： \[ \frac{dx}{dy} = -\frac{y^2 - 3x^2}{2xy} \]
步骤 2：引入变量替换
令 $u = \frac{x}{y}$，则 $x = uy$，对 $x$ 关于 $y$ 求导，得到： \[ \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy} \] 将 $u$ 和 $\frac{dx}{dy}$ 的表达式代入步骤 1 中的微分方程，得到： \[ u + y\frac{du}{dy} = -\frac{1}{2u} + \frac{3u}{2} \]
步骤 3：分离变量并积分
将步骤 2 中的方程分离变量，得到： \[ \frac{2u}{u^2 - 1}du = -\frac{dy}{y} \] 对两边积分，得到： \[ \ln |u^2 - 1| = -\ln |y| + C_1 \] 即： \[ u^2 - 1 = Cy \] 其中 $C = e^{C_1}$。
步骤 4：代入变量替换并利用初始条件
将 $u = \frac{x}{y}$ 代入步骤 3 中的方程，得到： \[ \frac{x^2}{y^2} - 1 = Cy \] 利用初始条件 $y|_{x=0} = 1$，代入上式，得到： \[ -1 = C \cdot 1 \] 即 $C = -1$，因此： \[ \frac{x^2}{y^2} - 1 = -y \] 整理得到： \[ y^3 = y^2 - x^2 \]
将原方程 $(y^{2}-3x^{2})dy+2xydx=0$ 改写为微分形式，得到： \[ \frac{dx}{dy} = -\frac{y^2 - 3x^2}{2xy} \]
步骤 2：引入变量替换
令 $u = \frac{x}{y}$，则 $x = uy$，对 $x$ 关于 $y$ 求导，得到： \[ \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy} \] 将 $u$ 和 $\frac{dx}{dy}$ 的表达式代入步骤 1 中的微分方程，得到： \[ u + y\frac{du}{dy} = -\frac{1}{2u} + \frac{3u}{2} \]
步骤 3：分离变量并积分
将步骤 2 中的方程分离变量，得到： \[ \frac{2u}{u^2 - 1}du = -\frac{dy}{y} \] 对两边积分，得到： \[ \ln |u^2 - 1| = -\ln |y| + C_1 \] 即： \[ u^2 - 1 = Cy \] 其中 $C = e^{C_1}$。
步骤 4：代入变量替换并利用初始条件
将 $u = \frac{x}{y}$ 代入步骤 3 中的方程，得到： \[ \frac{x^2}{y^2} - 1 = Cy \] 利用初始条件 $y|_{x=0} = 1$，代入上式，得到： \[ -1 = C \cdot 1 \] 即 $C = -1$，因此： \[ \frac{x^2}{y^2} - 1 = -y \] 整理得到： \[ y^3 = y^2 - x^2 \]