15. (单选题，5分) 设V：x²+y²+z²≤R²(z≥0)，V₁为V在第一卦限中的部分，则有（）。 (A) iiintlimits_(V) xdV=4iiintlimits_(V_{1)} xdV (B) iiintlimits_(V) ydV=4iiintlimits_(V_{1)} ydV (C) iiintlimits_(V) zdV=4iiintlimits_(V_{1)} zdV (D) iiintlimits_(V) xyzdV=4iiintlimits_(V_{1)} xyzdV A.(A) B.(B) C.(C) D.(D)

设 $ V $ 为半球区域 $ x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 $（$ z \geq 0 $），$ V_1 $ 为 $ V $ 在第一卦限的部分。 选项分析： - **(A) $\iiint\limits_{V} x \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} x \, dV$**： $ V $ 关于 $ yz $-平面对称，$ x $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ x \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 - **(B) $\iiint\limits_{V} y \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} y \, dV$**： 同理，$ V $ 关于 $ xz $-平面对称，$ y $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ y \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 - **(C) $\iiint\limits_{V} z \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} z \, dV$**： $ V $ 关于 $ xy $-平面不对称，但 $ z \geq 0 $，积分值为正。$ V_1 $ 中 $ z \geq 0 $，积分值为正，且 $ V $ 的积分是 $ V_1 $ 的4倍，故成立。 - **(D) $\iiint\limits_{V} xyz \, dV = 4 \iiint\limits_{V_{1}} xyz \, dV$**： $ V $ 关于 $ yz $-平面、$ xz $-平面、$ xy $-平面均对称，$ xyz $ 为奇函数，积分值为0，而 $ V_1 $ 中 $ xyz \geq 0 $，积分值为正，故不成立。 **答案：** $\boxed{C}$