2. 求极限lim_(xto+infty)x(sqrt(1+x^2)-x).

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算技巧，特别是处理形如“∞−∞”型不定式的有理化方法，以及通过分子分母同除以最高次项简化表达式的能力。

解题核心思路：

1. 有理化：通过乘以共轭表达式，将原式转化为分式形式，消除“∞−∞”型的不确定性。
2. 简化分式：分子分母同除以最高次项$x$，将极限转化为关于$\frac{1}{x}$的表达式，进而利用$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$求解。

破题关键点：

• 识别有理化的必要性：当直接代入$x \to +\infty$导致$\sqrt{1+x^2} - x$趋近于$0$时，需通过有理化放大该部分的量级。
• 分式化简的技巧：通过分子分母同除以$x$，将分母中的$\sqrt{1+x^2}$转化为$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$，从而简化极限计算。

步骤1：有理化处理
原式为：
$\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1+x^2} - x\right)$
将$\sqrt{1+x^2} - x$乘以共轭表达式$\sqrt{1+x^2} + x$，分子分母同乘：
$\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1+x^2} - x\right) &= \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left[(\sqrt{1+x^2} - x)(\sqrt{1+x^2} + x)\right]}{\sqrt{1+x^2} + x} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{x(1+x^2 - x^2)}{\sqrt{1+x^2} + x} \\&= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{1+x^2} + x}.\end{aligned}$

步骤2：分子分母同除以$x$
将分子和分母中的每一项均除以$x$：
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{\sqrt{1+x^2}}{x} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1}.$

步骤3：代入极限计算
当$x \to +\infty$时，$\frac{1}{x^2} \to 0$，因此：
$\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \to \sqrt{1+0} = 1.$
代入得：
$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$