5.(填空题，5.0分)甲箱中装有5件一等品，3件二等品，乙箱中装有4件一等品和4件二等品.先从甲箱中任取2件产品，然后将这2件产品放入乙箱，再从乙箱中任取1件产品，则从乙箱中取到1件一等品的概率为_____.(答案写成最简分数a/b)

本题考查全概率公式的应用。解题思路是先确定从甲箱中任取$2$件产品的所有可能情况，计算出每种情况发生的概率，再分别计算在每种情况下从乙箱中取到一等品的概率，最后根据全概率公式计算从乙箱中取到一等品的总概率。

步骤一：计算从甲箱中任取$2$件产品的三种情况的概率

• 情况一：取$2$件一等品
  从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$\binom{n}{m}$，其计算公式为$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
  从甲箱$8$件产品中任取$2$件的组合数为$\binom{8}{2}=\frac{8!}{2!(8 - 2)!}=\frac{8\times7}{2\times1}=28$。
  从甲箱$5$件一等品中任取$2$件的组合数为$\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$。
  所以取$2$件一等品的概率为$P_1=\frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{10}{28}=\frac{5}{14}$。
  此时乙箱中有$4 + 2 = 6$件一等品，$4$件二等品，共$10$件产品，从乙箱中取到一等品的概率为$P_{11}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
• 情况二：取$1$件一等品和$1$件二等品
  从甲箱$5$件一等品中取$1$件的组合数为$\binom{5}{1}=\frac{5!}{1!(5 - 1)!}=5$，从甲箱$3$件二等品中取$1$件的组合数为$\binom{3}{1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=3$。
  根据分步乘法计数原理，取$1$件一等品和$1$件二等品的组合数为$\binom{5}{1}\times\binom{3}{1}=5\times3 = 15$。
  所以取$1$件一等品和$1$件二等品的概率为$P_2=\frac{\binom{5}{1}\times\binom{3}{1}}{\binom{8}{2}}=\frac{15}{28}$。
  此时乙箱中有$4 + 1 = 5$件一等品，$4 + 1 = 5$件二等品，共$10$件产品，从乙箱中取到一等品的概率为$P_{21}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
• 情况三：取$2$件二等品
  从甲箱$3$件二等品中任取$2$件的组合数为$\binom{3}{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3\times2}{2\times1}=3$。
  所以取$2$件二等品的概率为$P_3=\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}=\frac{3}{28}$。
  此时乙箱中有$4$件一等品，$4 + 2 = 6$件二等品，共$10$件产品，从乙箱中取到一等品的概率为$P_{31}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。

步骤二：根据全概率公式计算从乙箱中取到一等品的总概率

全概率公式为$P = P_1P_{11} + P_2P_{21} + P_3P_{31}$。
将$P_1=\frac{5}{14}$，$P_{11}=\frac{3}{5}$，$P_2=\frac{15}{28}$，$P_{21}=\frac{1}{2}$，$P_3=\frac{3}{28}$，$P_{31}=\frac{2}{5}$代入全概率公式可得：
$\begin{align*}P&=\frac{5}{14} \times \frac{3}{5} + \frac{15}{28} \times \frac{1}{2} + \frac{3}{28} \times \frac{2}{5}\\&=\frac{3}{14} + \frac{15}{56} + \frac{3}{70}\\&=\frac{60}{280} + \frac{75}{280} + \frac{12}{280}\\&=\frac{60 + 75 + 12}{280}\\&=\frac{147}{280}\\&=\frac{21}{40}\end{align*}$