题目
2.设a_(i),b_(i),c_(i),分别为n阶方阵A,B,(A+B)的特征值,则有等式=sum_(i=1)^na_(i)=sum_(i=1)^nb_(i)=sum_(i=1)^nc_(i)。A 对B 错3.若方阵A的特征值全为零，则A为零矩阵。A 对B 错
2.设$a_{i},b_{i},c_{i}$,分别为n阶方阵A,B,(A+B)的特征值,则有等式=$\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}=\sum_{i=1}^{n}c_{i}$。
A 对
B 错
3.若方阵A的特征值全为零，则A为零矩阵。
A 对
B 错
题目解答
答案
**问题2：**
设 $A$、$B$、$A+B$ 的特征值分别为 $a_i$、$b_i$、$c_i$。由矩阵迹的性质，
\[
\text{tr}(A) = \sum a_i, \quad \text{tr}(B) = \sum b_i, \quad \text{tr}(A+B) = \sum c_i = \text{tr}(A) + \text{tr}(B).
\]
因此，$\sum c_i = \sum a_i + \sum b_i$，等式不成立。答案：$\boxed{B}$。
**问题3：**
特征值全为零时，特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，解得 $\lambda = 0$。
反例：
\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}, \quad \text{特征值全为0，但 } A \neq O.
\]
答案：$\boxed{B}$。
解析
问题2：考查矩阵特征值的和与矩阵迹的关系。关键点在于矩阵迹等于特征值之和，且矩阵相加的迹等于各自迹之和。题目中等式忽略了这一加法关系，导致错误。
问题3：考查特征值与矩阵结构的关系。关键点是特征值全为零仅说明矩阵幂零，但未必为零矩阵。需举反例说明。
问题2
矩阵迹的性质
矩阵的迹（trace）是主对角线元素之和，等于所有特征值之和。即：
$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad \text{tr}(B) = \sum_{i=1}^{n} b_i.$
矩阵相加的迹
矩阵相加的迹满足：
$\text{tr}(A+B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B).$
因此，$A+B$的特征值之和为：
$\sum_{i=1}^{n} c_i = \text{tr}(A+B) = \sum_{i=1}^{n} a_i + \sum_{i=1}^{n} b_i.$
等式矛盾
题目中等式 $\sum a_i = \sum b_i = \sum c_i$ 要求 $\sum a_i = \sum b_i$ 且 $\sum c_i = \sum a_i$，但实际 $\sum c_i = \sum a_i + \sum b_i$，除非 $\sum a_i = \sum b_i = 0$，否则等式不成立。因此命题错误。
问题3
若尔当标准型
若方阵$A$的特征值全为零，则$A$为幂零矩阵，其若尔当标准型为分块对角矩阵，主对角线全零，但可能存在非零的上超对角线元素。
反例验证
构造矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$
- 特征方程：$\det(A - \lambda I) = \lambda^2 = 0$，特征值全为零。
- 但$A \neq O$（非零矩阵）。
因此命题错误。