题目
2.函数 =arcsin |x-2|+dfrac (ln ({e)^x-1)}(x) 的定义域为【1. ()-|||-A.(1,3] B.[1,3)-|||-C.(0,3) D.[1,3]
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\arcsin |x-2|$ 的定义域
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1, 1]$，因此 $|x-2|$ 必须在 $[-1, 1]$ 之间。这意味着 $-1 \leq |x-2| \leq 1$。由于绝对值的性质，$|x-2|$ 总是非负的，所以 $0 \leq |x-2| \leq 1$。这可以转化为 $1 \leq x \leq 3$。
步骤 2：确定 $\dfrac {\ln ({e}^{x}-1)}{x}$ 的定义域
$\ln$ 函数的定义域为 $(0, +\infty)$，因此 ${e}^{x}-1 > 0$，即 ${e}^{x} > 1$，解得 $x > 0$。同时，分母 $x$ 不能为零，所以 $x \neq 0$。综合起来，$x > 0$。
步骤 3：合并两个条件
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，我们得到 $1 \leq x \leq 3$ 和 $x > 0$。由于 $1 \leq x \leq 3$ 已经包含了 $x > 0$ 的条件，因此最终的定义域为 $1 \leq x \leq 3$，但要注意 $x$ 不能等于 $0$，所以 $x$ 的取值范围是 $1 \leq x < 3$。
$\arcsin$ 函数的定义域为 $[-1, 1]$，因此 $|x-2|$ 必须在 $[-1, 1]$ 之间。这意味着 $-1 \leq |x-2| \leq 1$。由于绝对值的性质，$|x-2|$ 总是非负的，所以 $0 \leq |x-2| \leq 1$。这可以转化为 $1 \leq x \leq 3$。
步骤 2：确定 $\dfrac {\ln ({e}^{x}-1)}{x}$ 的定义域
$\ln$ 函数的定义域为 $(0, +\infty)$，因此 ${e}^{x}-1 > 0$，即 ${e}^{x} > 1$，解得 $x > 0$。同时，分母 $x$ 不能为零，所以 $x \neq 0$。综合起来，$x > 0$。
步骤 3：合并两个条件
结合步骤 1 和步骤 2 的结果，我们得到 $1 \leq x \leq 3$ 和 $x > 0$。由于 $1 \leq x \leq 3$ 已经包含了 $x > 0$ 的条件，因此最终的定义域为 $1 \leq x \leq 3$，但要注意 $x$ 不能等于 $0$，所以 $x$ 的取值范围是 $1 \leq x < 3$。