设3阶实对称矩阵A的全部特征值为1,-1,-1,则齐次线性方程组(E+A)x=0的基础解系所含解向量的个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、特征值与特征向量的关系，以及齐次线性方程组基础解系的求解。

解题核心思路：

1. 实对称矩阵可对角化，其特征值对应的特征向量正交；
2. 矩阵秩与特征值的关系：矩阵 $E + A$ 的秩等于其非零特征值的个数；
3. 基础解系的维数等于解空间的维数，即 $n - \text{rank}(E + A)$。

破题关键点：

• 通过 $A$ 的特征值推导 $E + A$ 的特征值；
• 利用秩的计算确定基础解系的个数。

步骤1：求 $E + A$ 的特征值

已知 $A$ 的特征值为 $1, -1, -1$，则 $E + A$ 的特征值为：
$1 + 1 = 2, \quad 1 + (-1) = 0, \quad 1 + (-1) = 0.$
因此，$E + A$ 的特征值为 $2, 0, 0$。

步骤2：计算 $E + A$ 的秩

矩阵的秩等于非零特征值的个数。此处非零特征值为 $2$，故：
$\text{rank}(E + A) = 1.$

步骤3：求基础解系的维数

解空间的维数为：
$3 - \text{rank}(E + A) = 3 - 1 = 2.$
因此，基础解系包含 2个 线性无关的解向量。