题目
若函数 y = ax + b 满足微分方程 y‘’+ 4y=x 则 b =
若函数 y = ax + b 满足微分方程 y‘’+ 4y=x 则 b =
题目解答
答案
微分方程 y‘’+ 4y=x的特征方程为
,得特征根：r=2i, -2i
因此齐次方程y"+4y=0的通解为
设特解y*=mx+n, 代入原方程得：4mx+4n=x
对比系数得：4m=1,4n=0,因此
, n=0
故
所以原方程通解为
又函数 y = ax + b 满足微分方程 y‘’+ 4y=x ，对比原方程通解可知
解析
步骤 1：求解微分方程的齐次解
微分方程 y‘’+ 4y=x 的特征方程为 ${r}^{2}+4=0$，解得特征根：r=2i, -2i。因此齐次方程 y"+4y=0 的通解为 ${y}_{1}={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x$。
步骤 2：求解微分方程的特解
设特解 y*=mx+n，代入原方程得：4mx+4n=x。对比系数得：4m=1,4n=0，因此 $m=\dfrac {1}{4}$, n=0。故 ${y}^{*}=\dfrac {x}{4}$。
步骤 3：求解微分方程的通解
所以原方程通解为 $y={y}_{1}+{y}^{*}={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x+\dfrac {x}{4}$。
步骤 4：确定函数 y = ax + b 的系数
又函数 y = ax + b 满足微分方程 y‘’+ 4y=x，对比原方程通解可知 $a=\dfrac {1}{4}$，$b={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x$。
微分方程 y‘’+ 4y=x 的特征方程为 ${r}^{2}+4=0$，解得特征根：r=2i, -2i。因此齐次方程 y"+4y=0 的通解为 ${y}_{1}={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x$。
步骤 2：求解微分方程的特解
设特解 y*=mx+n，代入原方程得：4mx+4n=x。对比系数得：4m=1,4n=0，因此 $m=\dfrac {1}{4}$, n=0。故 ${y}^{*}=\dfrac {x}{4}$。
步骤 3：求解微分方程的通解
所以原方程通解为 $y={y}_{1}+{y}^{*}={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x+\dfrac {x}{4}$。
步骤 4：确定函数 y = ax + b 的系数
又函数 y = ax + b 满足微分方程 y‘’+ 4y=x，对比原方程通解可知 $a=\dfrac {1}{4}$，$b={C}_{1}\sin 2x+{C}_{2}\cos 2x$。