题目
如果数集A有上（下）确界，则上（下）确界唯一.A. 正确B. 错误
如果数集A有上（下）确界，则上（下）确界唯一.
- A. 正确
- B. 错误
题目解答
答案
A.正确
解析
步骤 1：定义上确界和下确界
上确界（supremum）是指一个数集A中所有元素的最小上界，即存在一个数M，使得对于A中的所有元素x，都有x ≤ M，并且M是所有上界中最小的一个。下确界（infimum）是指一个数集A中所有元素的最大下界，即存在一个数m，使得对于A中的所有元素x，都有x ≥ m，并且m是所有下界中最大的一个。
步骤 2：证明上确界的唯一性
假设数集A有两个上确界M1和M2，且M1 ≠ M2。不失一般性，假设M1 < M2。由于M1是上确界，所以M1是A的上界，即对于A中的所有元素x，都有x ≤ M1。但是，M2也是上确界，所以M2是A的上界，即对于A中的所有元素x，都有x ≤ M2。由于M1 < M2，所以M1不是A的最小上界，这与M1是上确界的定义矛盾。因此，上确界唯一。
步骤 3：证明下确界的唯一性
假设数集A有两个下确界m1和m2，且m1 ≠ m2。不失一般性，假设m1 < m2。由于m1是下确界，所以m1是A的下界，即对于A中的所有元素x，都有x ≥ m1。但是，m2也是下确界，所以m2是A的下界，即对于A中的所有元素x，都有x ≥ m2。由于m1 < m2，所以m2不是A的最大下界，这与m2是下确界的定义矛盾。因此，下确界唯一。
上确界（supremum）是指一个数集A中所有元素的最小上界，即存在一个数M，使得对于A中的所有元素x，都有x ≤ M，并且M是所有上界中最小的一个。下确界（infimum）是指一个数集A中所有元素的最大下界，即存在一个数m，使得对于A中的所有元素x，都有x ≥ m，并且m是所有下界中最大的一个。
步骤 2：证明上确界的唯一性
假设数集A有两个上确界M1和M2，且M1 ≠ M2。不失一般性，假设M1 < M2。由于M1是上确界，所以M1是A的上界，即对于A中的所有元素x，都有x ≤ M1。但是，M2也是上确界，所以M2是A的上界，即对于A中的所有元素x，都有x ≤ M2。由于M1 < M2，所以M1不是A的最小上界，这与M1是上确界的定义矛盾。因此，上确界唯一。
步骤 3：证明下确界的唯一性
假设数集A有两个下确界m1和m2，且m1 ≠ m2。不失一般性，假设m1 < m2。由于m1是下确界，所以m1是A的下界，即对于A中的所有元素x，都有x ≥ m1。但是，m2也是下确界，所以m2是A的下界，即对于A中的所有元素x，都有x ≥ m2。由于m1 < m2，所以m2不是A的最大下界，这与m2是下确界的定义矛盾。因此，下确界唯一。