7 单选(10分)关于二元函数 (x,y)=xy((x)^2+(y)^2leqslant 1) 描述正确的是-|||-参考答案:-|||-D:最大值为 -|||-A.最小值为0-|||-B.无最大值-|||-C.最大值为1-|||-D.最大值为 1/2

步骤 1：确定函数定义域
函数 $f(x,y)=xy$ 在圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 内定义，即在单位圆内。

步骤 2：寻找函数的极值点
为了找到函数的极值点，我们使用拉格朗日乘数法。设 $g(x,y)={x}^{2}+{y}^{2}-1$，则我们需要解方程组：
$$
\nabla f = \lambda \nabla g
$$
其中 $\nabla f = (y, x)$，$\nabla g = (2x, 2y)$，所以有：
$$
y = \lambda 2x
$$
$$
x = \lambda 2y
$$
联立这两个方程，得到：
$$
y = \lambda 2x
$$
$$
x = \lambda 2y
$$
解得 $\lambda = \pm \frac{1}{2}$，从而得到 $x = y$ 或 $x = -y$。

步骤 3：计算极值点的函数值
当 $x = y$ 时，代入 $x^2 + y^2 = 1$，得到 $x = y = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $x = y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $f(x,y) = \frac{1}{2}$。
当 $x = -y$ 时，代入 $x^2 + y^2 = 1$，得到 $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $f(x,y) = -\frac{1}{2}$。

步骤 4：确定最大值
根据上述计算，函数 $f(x,y)$ 在圆 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 内的最大值为 $\frac{1}{2}$。