72 下列4个命题-|||-①若f(x)在 x=a 处连续,且|f(x )|在 x=a 处可导,则f(x)在 x=a 处必可导.-|||-②设φ(x)在 x=a 的某邻域内有定义,且limφ(x)存在,则 (x)=(x-a)varphi (x) 在 x=-|||-a处必可导.-|||-③设φ(x)在 x=a 的某邻域内有定义,且limφ(x)存在,则 (x)=|x-a|varphi (x) 在 x=-|||-a处必可导.-|||-④若f(x)在 x=a 的某邻域内有定义,且 lim _(xarrow 0)dfrac (f(a+x)-f(a-x))(x) 存在,则f(x)在-|||-x=a 处必可导.-|||-正确的命题为-|||-(A)①与②. (B)③与④. (C)①与③. (D)②与④.

考查要点：本题主要考查函数在某点可导的判定条件，涉及绝对值函数、邻域定义、导数定义及极限存在性的综合应用。

解题核心思路：

1. 命题①的关键在于利用连续性和绝对值函数的可导性，分情况讨论$f(a)$的正负，结合极限存在性推导$f(x)$在$x=a$处的可导性。
2. 命题②需通过导数定义直接计算，利用$\lim_{x \to a} \varphi(x)$存在这一条件。
3. 命题③需注意绝对值函数在分段点的导数特性，可能存在左右导数不相等的情况。
4. 命题④需区分对称差商极限存在与导数存在的关系，构造反例验证其不必然成立。

破题关键点：

• 命题①中当$f(a)=0$时，通过分析$\lim \frac{|f(x)|}{x-a}$的左右极限，推导$f'(a)=0$。
• 命题②直接应用导数定义，极限存在保证可导。
• 命题③通过构造反例（如$f(x)=|x-a|$）说明不可导。
• 命题④通过反例（如$f(x)=|x|$）说明对称差商极限存在但不可导。

命题①分析

关键步骤：

1. 当$f(a) \neq 0$时：由$f(x)$连续，存在邻域内$f(x)$与$f(a)$同号，故$|f(x)| = \pm f(x)$，从而$f(x)$可导。
2. 当$f(a)=0$时：由$\lim_{x \to a} \frac{|f(x)|}{x-a} = A$存在，分析左右极限可得$A=0$，进而$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 0$，即$f'(a)=0$。

结论：命题①正确。

命题②分析

关键步骤：

1. 导数定义：$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a} = \lim_{x \to a} \varphi(x)$。
2. 极限存在：题目已给出$\lim_{x \to a} \varphi(x)$存在，故$f'(a)$存在。

结论：命题②正确。

命题③分析

反例：设$\varphi(x)=1$，则$f(x)=|x-a|$。在$x=a$处：

• 左导数为$-1$，右导数为$1$，导数不存在。

结论：命题③错误。

命题④分析

反例：设$f(x)=|x|$，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x} = \lim_{x \to 0} 0 = 0$，但$f(x)$在$x=0$处不可导。

结论：命题④错误。