题目
当x→0时, 3x^2是arctan^2x的 A.高阶无穷小 B.同阶非等价无穷小 C.低阶无穷小 D.等价无穷小x+1
当
的
A.高阶无穷小
B.同阶非等价无穷小
C.低阶无穷小
D.等价无穷小x+1
题目解答
答案
首先，我们要判断
的增长性质，以确定它们在
时的关系。
考虑当
的性质，我们知道
。因此，可以得到
。这表明
同阶。
现在，我们来看
。由于
的常数倍，因此在时，它仍然是
的同阶无穷小。
综上所述，
时是同阶无穷小。而x+1显然是的高阶无穷小。
因此，选项为：
B. 同阶非等价无穷小。
解析
步骤 1：分析arctan x的性质
我们知道当$x\rightarrow 0$时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\arctan x}{x}=1$。这意味着当$x$接近0时，$\arctan x$和$x$是等价无穷小。
步骤 2：分析arctan^2x的性质
由于$\arctan^2x$是$\arctan x$的平方，我们可以得出$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\arctan^2x}{x^2}=1$。这表明当$x$接近0时，$\arctan^2x$和$x^2$是等价无穷小。
步骤 3：分析3x^2和arctan^2x的关系
由于$3x^2$是$x^2$的常数倍，因此当$x$接近0时，$3x^2$和$x^2$是同阶无穷小。结合步骤2，我们可以得出$3x^2$和$\arctan^2x$在$x\rightarrow 0$时是同阶无穷小，但不是等价无穷小，因为它们的比值不是1。
步骤 4：分析x+1和arctan^2x的关系
由于$x+1$在$x\rightarrow 0$时是常数1，而$\arctan^2x$是$x^2$的等价无穷小，因此$x+1$是$\arctan^2x$的高阶无穷小。
我们知道当$x\rightarrow 0$时，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\arctan x}{x}=1$。这意味着当$x$接近0时，$\arctan x$和$x$是等价无穷小。
步骤 2：分析arctan^2x的性质
由于$\arctan^2x$是$\arctan x$的平方，我们可以得出$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\arctan^2x}{x^2}=1$。这表明当$x$接近0时，$\arctan^2x$和$x^2$是等价无穷小。
步骤 3：分析3x^2和arctan^2x的关系
由于$3x^2$是$x^2$的常数倍，因此当$x$接近0时，$3x^2$和$x^2$是同阶无穷小。结合步骤2，我们可以得出$3x^2$和$\arctan^2x$在$x\rightarrow 0$时是同阶无穷小，但不是等价无穷小，因为它们的比值不是1。
步骤 4：分析x+1和arctan^2x的关系
由于$x+1$在$x\rightarrow 0$时是常数1，而$\arctan^2x$是$x^2$的等价无穷小，因此$x+1$是$\arctan^2x$的高阶无穷小。