题目

设线性方程组为 ) (x)_(1)-3(x)_(2)-(x)_(3)=0 (x)_(1)-4(x)_(2)+a(x)_(3)=b 2(x)_(1)-(x)_(2)+3(x)_(3)=5 .取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 在有无穷多解时求出其通解。

设线性方程组为,问:、取何值时,方程组无解、

有唯一解、有无穷多解? 在有无穷多解时求出其通解。

题目解答

答案

参考答案:当a≠-2时方程有唯一解,

当a=-2且b=—1时,方程有无穷多解,

当a=-2且b≠-1时,方程无解。

提示:

(1)、考虑到方程的个数正好等于未知数的个数,所以可以使用克莱姆法则。

需要强调的是:克莱姆法则虽然不能解决所有的问题,但已经对大多数情况予以解决,剩下的只是极少的特殊情况。

当a≠-2时方程有唯一解。

(2)、克莱法准则只能解决系数行列式非零时这种情况,而系数行列式为零时则无法解决,这就需要使用增广矩阵进行研究。

需要强调的是:如果一开始就用增广矩阵进行研究,因其中包含有参数,研究起来会很麻烦。

当a=-2时,

易知,当a=-2且b=—1时,方程有无穷多解,

当a=-2且b≠-1时,方程无解。

总结:先用克莱姆法则解决大多数情况,然后用增广矩阵解决剩余的特殊情况,这是一个非常好的方案。

解析

本题考查线性方程组解的情况的判定，解题思路是先根据克莱姆法则判断系数行列式不为零时方程组的解的情况，再针对系数行列式为零的特殊情况，通过对增广矩阵进行初等行变换来进一步分析方程组解的情况。

  1. 判断系数行列式不为零时方程组的解的情况：
    • 首先写出方程组的系数行列式$\vert A\vert$：
      已知方程组$\begin{cases}x_1 - 3x_2 - x_3 = 0\\x_1 - 4x_2 + ax_3 = b\\2x_1 - x_2 + 3x_3 = 5\end{cases}$，其系数行列式$\vert A\vert=\begin{vmatrix}1&-3&-1\\1&-4&a\\2&-1&3\end{vmatrix}$。
    • 然后根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$计算$\vert A\vert$：
      $\begin{align*}\vert A\vert&=1\times\begin{vmatrix}-4&a\\-1&3\end{vmatrix}-(-3)\times\begin{vmatrix}1&a\\2&3\end{vmatrix}+(-1)\times\begin{vmatrix}1&-4\\2&-1\end{vmatrix}\\&=1\times((-4)\times3 - a\times(-1)) + 3\times(1\times3 - a\times2) - 1\times(1\times(-1) - (-4)\times2)\\&=1\times(-12 + a) + 3\times(3 - 2a) - 1\times(-1 + 8)\\&=-12 + a + 9 - 6a - 7\\&=-5a - 10\\&=-5(a + 2)\end{align*}$
    • 当$\vert A\vert\neq0$，即$-5(a + 2)\neq0$，解不等式$-5(a + 2)\neq0$，两边同时除以$-5$得$a + 2\neq0$，解得$a\neq -2$时，根据克莱姆法则，方程组有唯一解。
  2. 判断系数行列式为零时方程组的解的情况：
    • 当$a = -2$时，方程组的增广矩阵$(A\vert b)=\begin{pmatrix}1&-3&-1&0\\1&-4&-2&b\\2&-1&3&5\end{pmatrix}$。
    • 对增广矩阵进行初等行变换：
      • 第二行减去第一行，第三行减去第一行的$2$倍，得到$\begin{pmatrix}1&-3&-1&0\\0&-1&-1&b\\0&5&5&5\end{pmatrix}$。
      • 第三行加上第二行的$5$倍，得到$\begin{pmatrix}1&-3&-1&0\\0&-1&-1&b\\0&0&0&b + 5\end{pmatrix}$。
    • 进一步将第二行乘以$-1$，得到$\begin{pmatrix}1&-3&-1&0\\0&1&1&-b\\0&0&0&b + 5\end{pmatrix}$。
    • 再将第一行加上第二行的$3$倍，得到$\begin{pmatrix}1&0&2&-3b\\0&1&1&-b\\0&0&0&b + 5\end{pmatrix}$。
    • 当$b = -1$时，增广矩阵变为$\begin{pmatrix}1&0&2&3\\0&1&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，此时$r(A)=r(A\vert b)=2\lt3$（未知数的个数），方程组有无穷多解。
    • 当$b\neq -1$时，$r(A)=2$，$r(A\vert b)=3$，$r(A)\neq r(A\vert b)$，方程组无解。