24.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,-|||-其概率密度为-|||-_(x)(x)= {e)^-x/5,xgt 0 0, 。

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算和二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单次事件概率：计算顾客单次等待超过10分钟的概率，即指数分布的生存函数值。
2. 建立二项分布模型：将5次独立尝试视为伯努利试验，Y服从二项分布。
3. 计算特定概率：利用二项分布的性质，求至少一次离开的概率。

1. 计算单次离开概率 $p$

顾客等待时间 $X \sim \text{指数分布}(\lambda = \frac{1}{5})$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{5}e^{-x/5}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
等待超过10分钟的概率为：
$p = P(X > 10) = \int_{10}^{+\infty} \frac{1}{5}e^{-x/5} \, dx = e^{-10/5} = e^{-2}.$

2. 确定 $Y$ 的分布

Y表示5次中未等到服务的次数，每次离开是独立事件，因此：
$Y \sim \text{二项分布}(n=5, \, p=e^{-2}).$
分布律为：
$P\{Y = k\} = \binom{5}{k} (e^{-2})^k (1 - e^{-2})^{5-k}, \quad k = 0,1,2,3,4,5.$

3. 计算 $P\{Y \geq 1\}$

至少有一次离开的概率为：
$P\{Y \geq 1\} = 1 - P\{Y = 0\} = 1 - (1 - e^{-2})^5.$
代入数值计算得：
$(1 - e^{-2})^5 \approx 0.484 \quad \Rightarrow \quad P\{Y \geq 1\} \approx 1 - 0.484 = 0.516.$
（注：题目答案中给出的 $0.0167$ 可能存在计算错误。）