设连续随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=} 24y(1-x), & 0 leq x leq 1, 0 leq y leq x, 0, & (其他)

本题考查连续随机向量边缘概率密度的计算。解题思路是根据边缘概率密度的定义，对于连续随机向量$(X,Y)$，关于$X$的边缘概率密度$f_X(x)$是通过对联合概率密度函数$f(x,y)$关于$y$在其取值范围内进行积分得到的。

下面进行详细计算：
已知联合概率密度函数$f(x,y)=\begin{cases} 24y(1 - x), & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。
根据边缘概率密度的计算公式$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。

• 当$0\leq x\leq1$时：
  此时$y$的取值范围是$0\leq y\leq x$，将$f(x,y)=24y(1 - x)$代入积分式可得：
  $f_X(x)=\int_{0}^{x}24y(1 - x)dy$
  根据积分的性质，可将常数$24(1 - x)$提出积分号外，即$f_X(x)=24(1 - x)\int_{0}^{x}y dy$。
  根据积分公式$\int y^n dy=\frac{y^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{x}y dy$进行计算：
  $\int_{0}^{x}y dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{x}=\frac{x^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{x^2}{2}$
  将其代回$f_X(x)$的表达式可得：
  $f_X(x)=24(1 - x)\times\frac{x^2}{2}=12x^2(1 - x)$
• 当$x\lt0$或$x\gt1$时：
  因为此时$f(x,y)=0$，所以$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}0dy = 0$。

综上，关于$X$的边缘概率密度$f_X(x)=\begin{cases} 12x^2(1 - x), & 0 \leq x \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。