已知f(0)=f(1)=f(2)=f(3)，则方程f(0)=f(1)=f(2)=f(3)在区间f(0)=f(1)=f(2)=f(3)上至少存在（ ）个根。A.1B.2C.3D.4

考查要点：本题主要考查罗尔定理的应用，以及如何通过函数在多个点取值相等推断导数的零点个数。

解题核心思路：
题目中给出函数在四个点（0,1,2,3）处的函数值相等。根据罗尔定理，若函数在某个闭区间上连续且可导，并且区间端点处函数值相等，则该区间内至少存在一个导数为零的点。因此，将区间[0,3]划分为三个相邻的子区间（[0,1]、[1,2]、[2,3]），每个子区间均满足罗尔定理的条件，从而得出至少存在三个导数为零的点。

破题关键点：

1. 识别相邻区间：将四个等值点分成三个相邻的闭区间。
2. 逐个区间应用罗尔定理：每个子区间独立应用定理，确保每个区间内至少存在一个导数零点。
3. 累加结果：三个子区间共产生三个零点，因此答案为选项C。

罗尔定理的条件：
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。

具体分析：

1. 区间[0,1]：

   • $f(0)=f(1)$，且假设$f(x)$在$[0,1]$上连续、可导。
   • 根据罗尔定理，在$(0,1)$内至少存在一点$\xi_1$，使得$f'(\xi_1)=0$。

2. 区间[1,2]：

   • $f(1)=f(2)$，同理假设$f(x)$在$[1,2]$上连续、可导。
   • 根据罗尔定理，在$(1,2)$内至少存在一点$\xi_2$，使得$f'(\xi_2)=0$。

3. 区间[2,3]：

   • $f(2)=f(3)$，同理假设$f(x)$在$[2,3]$上连续、可导。
   • 根据罗尔定理，在$(2,3)$内至少存在一点$\xi_3$，使得$f'(\xi_3)=0$。

结论：
三个子区间共产生三个不同的导数零点$\xi_1, \xi_2, \xi_3$，因此方程$f'(x)=0$在$[0,3]$上至少存在3个根。