1.7 设lim_(xto1)(x^2+ax+b)/(sin(x^2)-1)=3，则a,b=（）A. 4,5B. -5,4C. 4,-5D. -4,5

考查要点：本题主要考查极限的求解，特别是0/0型不定式的处理方法，以及洛必达法则的应用。同时需要结合代数方程求解参数。

解题核心思路：

1. 分子分母同趋于0：当分母$\sin(x^2-1)$在$x \to 1$时趋于0，为使极限存在，分子$x^2 + ax + b$在$x=1$处也必须为0，从而形成0/0型不定式。
2. 应用洛必达法则：对分子分母分别求导，将原极限转化为新极限，通过等式求解参数$a$和$b$。

破题关键点：

• 分子在$x=1$处为0：代入$x=1$得到方程$a + b = -1$。
• 洛必达法则后的极限计算：通过导数后的表达式建立方程，解出$a$，再代入求$b$。

步骤1：确定分子在$x=1$处为0

当$x \to 1$时，分母$\sin(x^2 - 1) \to 0$，若极限存在，则分子$x^2 + ax + b$在$x=1$处也必须为0：
$1^2 + a \cdot 1 + b = 0 \implies a + b = -1.$

步骤2：应用洛必达法则

对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\frac{d}{dx}(x^2 + ax + b) = 2x + a$，
• 分母导数：$\frac{d}{dx}[\sin(x^2 - 1)] = 2x \cos(x^2 - 1)$。

根据洛必达法则，原极限变为：
$\lim_{x \to 1} \frac{2x + a}{2x \cos(x^2 - 1)}.$

步骤3：代入$x=1$并解方程

代入$x=1$，分母为$2 \cdot 1 \cdot \cos(0) = 2$，分子为$2 \cdot 1 + a = 2 + a$。根据题意：
$\frac{2 + a}{2} = 3 \implies 2 + a = 6 \implies a = 4.$

步骤4：求$b$的值

将$a=4$代入$a + b = -1$：
$4 + b = -1 \implies b = -5.$