题目

讨论函数(x)=lim _(narrow infty )dfrac (1-{x)^2n}(1+{x)^2n}x-|||-__的连续性若有间断点,判别其类型

讨论函数 $f(x)=*\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$ 的连续性若有间断点,判别其类型

题目解答

答案

- 首先，我们观察到给定的函数是一个极限形式的函数，即

$f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$

我们可以先求出这个极限的值，然后再进行连续性的分析。为了求出这个极限的值，我们可以根据x的取值范围进行分类讨论，即

- 当x=0时，显然有

$f(0)=0$

- 当x>0时，由于x^{2n}趋于正无穷大，我们可以利用洛必达法则求出极限的值，即

$\begin{aligned} f(x)&=\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x\\ &=x\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}\\ &=x\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\frac{-2nx^{2n-1}}{2nx^{2n-1}}\\ &=x\operatorname*{lim}_{n\to\infty}\frac{-1}{1}\\ &=-x \end{aligned}$

- 当x<0时，由于x^{2n}趋于正无穷大，我们可以利用洛必达法则求出极限的值，即

- 其次，我们根据上面的结果，可以将函数的表达式简化为

$f(x)=\begin{cases} 0,&x=0\\ -x,&x\neq 0 \end{cases}$

这是一个分段函数，我们可以对每个分段进行连续性的分析，即

- 当x<0时，函数为-x，这是一个基本初等函数，它在 $(-\infty,0)$ 上连续。

- 当x>0时，函数为-x，这是一个基本初等函数，它在 $(0,+\infty)$ 上连续。

- 当x=0时，函数为0，我们可以利用左右极限的概念判断函数在该点的连续性，即

$\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}-x=0=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}-x=0$

说明函数在x=0处连续。

- 最后，我们得到原题的答案为：函数f(x)在全体实数域上连续，没有间断点。