题目
19.(填空题，4.0分)设随机变量列X_{n)}独立同分布，且X_(1)的概率密度为f(x)=}6x(1-x),&0le xle 1,0,&else依概率收敛于常数____.(请用小数或最简分数作答，如1/3)
19.(填空题，4.0分)
设随机变量列$\{X_{n}\}$独立同分布，且$X_{1}$的概率密度为$f(x)=\begin{cases}6x(1-x),&0\le x\le 1,\\0,&else\end{cases}$，令$Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}$，则当$n\to\infty$时，$Y_{n}$依概率收敛于常数____.
(请用小数或最简分数作答，如1/3)
题目解答
答案
由大数定律，当 $ n \to \infty $ 时， $ Y_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^3 $ 依概率收敛于 $ E(X_1^3) $。计算期望值：
\[
E(X_1^3) = \int_0^1 x^3 \cdot 6x(1-x) \, dx = \int_0^1 (6x^4 - 6x^5) \, dx = 6 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right) = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}
\]
答案：$\boxed{\frac{1}{5}}$
解析
本题考查大数定律以及随机变量函数的数学期望的计算。解题思路如下：
- 首先明确大数定律的内容：设随机变量列$\{X_{n}\}$独立同分布，且具有数学期望$E(X_{i})=\mu$，$i = 1,2,\cdots$，则对于任意的$\varepsilon>0$，有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}-\mu\right|<\varepsilon\right\}=1$，即$\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$依概率收敛于$\mu$。
- 对于本题，已知随机变量列$\{X_{n}\}$独立同分布，令$Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{3}$，这里可以把$X_{i}^{3}$看作一个新的随机变量，设$Z_{i}=X_{i}^{3}$，那么$\{Z_{i}\}$也独立同分布。
- 根据大数定律，$Y_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}Z_{i}$依概率收敛于$E(Z_{1})$，也就是$E(X_{1}^{3})$。
- 接下来计算$E(X_{1}^{3})$，根据随机变量函数的数学期望公式，若随机变量$X$的概率密度为$f(x)$，$Y = g(X)$，则$E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx$。
- 已知$f(x)=\begin{cases}6x(1 - x),&0\leq x\leq1\\0,&\text{else}\end{cases}$，$g(x)=x^{3}$，所以$E(X_{1}^{3})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{3}f(x)dx$。
- 因为$f(x)$在$0\leq x\leq1$时不为$0$，其他区间为$0$，所以$E(X_{1}^{3})=\int_{0}^{1}x^{3}\cdot6x(1 - x)dx$。
- 先对被积函数进行化简：$x^{3}\cdot6x(1 - x)=6x^{4}(1 - x)=6x^{4}-6x^{5}$。
- 再计算定积分：
- 根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(u(x)-v(x))dx=\int_{a}^{b}u(x)dx-\int_{a}^{b}v(x)dx$，可得$\int_{0}^{1}(6x^{4}-6x^{5})dxdx=\int_{0}^{1}6x^{4}dx-\int_{0}^{1}6x^{5}dx$。
- 根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），则$\int_{0}^{1}6x^{4}dx=6\times\frac{1}{5}x^{5}\big|_{0}^{1}=6\times\frac{1}{5}(1^{5}-0^{5})=\frac{6}{5}$，$\int_{0}^{1}6x^{5}dx=6\times\frac{1}{6}x^{6}\big|_{0}^{1}=6\times\frac{1}{6}(1^{6}-0^{6}) = 1$。
- 所以$E(X_{1}^{3})=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}$。