题目

11【判断题】mid z mid ^2 = mid z^2 mid ;A 对B 错

11【判断题】 $\mid z \mid ^{2} = \mid z^{2} \mid ;$ A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断等式 $\mid z \mid ^{2} = \mid z^{2} \mid$ 是否成立，我们需要理解复数的模的性质。设 $z$ 是一个复数，可以表示为 $z = a + bi$，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位。复数 $z$ 的模定义为 $\mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2}$。 首先，我们计算 $\mid z \mid^2$： \[ \mid z \mid^2 = \left( \sqrt{a^2 + b^2} \right)^2 = a^2 + b^2. \] 接下来，我们计算 $\mid z^2 \mid$。复数 $z^2$ 可以表示为： \[ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 = (a^2 - b^2) + 2abi. \] 复数 $z^2$ 的模为： \[ \mid z^2 \mid = \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2} = \sqrt{a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2} = \sqrt{a^4 + 2a^2b^2 + b^4} = \sqrt{(a^2 + b^2)^2} = a^2 + b^2. \] 我们看到 $\mid z \mid^2$ 和 $\mid z^2 \mid$ 都等于 $a^2 + b^2$。因此，等式 $\mid z \mid^2 = \mid z^2 \mid$ 成立。 答案是 $\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查复数模的性质及其运算，需要理解复数的模的定义以及复数平方的运算规则。

解题核心思路：

  1. 复数模的定义：对于复数 $z = a + bi$，其模为 $\mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2}$。
  2. 模的平方与平方的模的关系：需分别计算 $\mid z \mid^2$ 和 $\mid z^2 \mid$，验证两者是否相等。
  3. 关键性质：利用复数平方的展开式，结合模的运算公式，推导出结果。

破题关键点：

  • 展开复数平方：正确展开 $z^2$ 的表达式，并计算其模。
  • 代数化简：通过代数运算证明 $\mid z^2 \mid$ 等于 $\mid z \mid^2$。

设复数 $z = a + bi$（其中 $a, b \in \mathbb{R}$），分析等式 $\mid z \mid^2 = \mid z^2 \mid$ 是否成立。

计算 $\mid z \mid^2$

根据模的定义：
$\mid z \mid = \sqrt{a^2 + b^2} \implies \mid z \mid^2 = a^2 + b^2.$

计算 $\mid z^2 \mid$

  1. 展开 $z^2$：
    $z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi.$
  2. 计算模：
    $\mid z^2 \mid = \sqrt{(a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2}.$
  3. 化简表达式：
    $\begin{aligned} (a^2 - b^2)^2 + (2ab)^2 &= a^4 - 2a^2b^2 + b^4 + 4a^2b^2 \\ &= a^4 + 2a^2b^2 + b^4 \\ &= (a^2 + b^2)^2. \end{aligned}$
  4. 取平方根：
    $\mid z^2 \mid = \sqrt{(a^2 + b^2)^2} = a^2 + b^2.$

结论

$\mid z \mid^2 = a^2 + b^2$ 与 $\mid z^2 \mid = a^2 + b^2$ 相等，因此等式成立。