设 lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x)-(ax+b{x)^2)}({x)^2}=2, 则设 lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+x)-(ax+b{x)^2)}({x)^2}=2, 则

本题考查极限的计算，核心思路是利用泰勒展开或洛必达法则展开分子，通过比较系数确定参数$a$和$b$的值。关键在于理解当分母为$x^2$时，分子必须展开到足够高阶，使得极限存在且等于给定值。

方法一：泰勒展开法

1. 展开$\ln(1+x)$
   $\ln(1+x)$的泰勒展开式为：
   $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$

2. 构造分子表达式
   原式分子为$\ln(1+x) - (ax + bx^2)$，代入展开式：
   $\begin{aligned} \ln(1+x) - ax - bx^2 &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - ax - bx^2 \\ &= (1 - a)x + \left(-\frac{1}{2} - b\right)x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \end{aligned}$

3. 分析极限条件
   分子除以$x^2$后为：
   $\frac{(1 - a)x + \left(-\frac{1}{2} - b\right)x^2 + \frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^2} = \frac{1 - a}{x} + \left(-\frac{1}{2} - b\right) + \frac{x}{3} + o(x)$
   当$x \to 0$时，$\frac{1 - a}{x}$项必须消失，即$1 - a = 0 \implies a = 1$。此时剩余部分为：
   $\left(-\frac{1}{2} - b\right) + o(1)$
   根据题意，极限值为$2$，故：
   $-\frac{1}{2} - b = 2 \implies b = -\frac{5}{2}$

方法二：洛必达法则

1. 第一次求导
   原式为$\frac{\ln(1+x) - ax - bx^2}{x^2}$，分子分母同时求导：
   $\frac{\frac{1}{1+x} - a - 2bx}{2x}$
   令$x \to 0$时分子为$0$，得$1 - a = 0 \implies a = 1$。

2. 第二次求导
   代入$a = 1$后，分子为$\frac{1}{1+x} - 1 - 2bx$，再次求导：
   $\frac{-\frac{1}{(1+x)^2} - 2b}{2}$
   令$x = 0$，得：
   $\frac{-1 - 2b}{2} = 2 \implies b = -\frac{5}{2}$