题目

5.[填空题]设随机变量X服从于参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从于参数为(3,p)的二项分布,若 PXgeq1=(5)/(9), 则 PYgeq1=_____(用分数表示)

5.[填空题]设随机变量X服从于参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从于参数为(3,p)的二项分布,若 $P\{X\geq1\}=\frac{5}{9},$ 则 $P\{Y\geq1\}=$_____(用分数表示)

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要确定给定 $P\{X \geq 1\} = \frac{5}{9}$ 时 $P\{Y \geq 1\}$ 的值，其中 $X$ 服从参数为 $(2, p)$ 的二项分布，而 $Y$ 服从参数为 $(3, p)$ 的二项分布。首先，我们从 $X$ 的分布开始。二项随机变量 $X$ 的概率质量函数由下式给出： \[ P(X = k) = \binom{2}{k} p^k (1-p)^{2-k} \] 对于 $k = 0, 1, 2$。已知 $P\{X \geq 1\} = \frac{5}{9}$，我们可以写成： \[ P\{X \geq 1\} = 1 - P\{X = 0\} \] $X = 0$ 的概率是： \[ P\{X = 0\} = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^2 = (1-p)^2 \] 因此，我们有： \[ 1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9} \] 解 $(1-p)^2$，我们得到： \[ (1-p)^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9} \] 对两边取平方根，我们得到： \[ 1-p = \frac{2}{3} \] 因此，$p$ 的值是： \[ p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \] 接下来，我们考虑 $Y$ 的分布。二项随机变量 $Y$ 的概率质量函数由下式给出： \[ P(Y = k) = \binom{3}{k} p^k (1-p)^{3-k} \] 对于 $k = 0, 1, 2, 3$。我们需要找到 $P\{Y \geq 1\}$，这可以写成： \[ P\{Y \geq 1\} = 1 - P\{Y = 0\} \] $Y = 0$ 的概率是： \[ P\{Y = 0\} = \binom{3}{0} p^0 (1-p)^3 = (1-p)^3 \] 由于 $p = \frac{1}{3}$，我们有： \[ 1-p = \frac{2}{3} \] 因此，$Y = 0$ 的概率是： \[ P\{Y = 0\} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \] 因此，$P\{Y \geq 1\}$ 的值是： \[ P\{Y \geq 1\} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27} \] 最终答案是： \[ \boxed{\frac{19}{27}} \]

解析

本题考查二项分布的概率计算。解题的关键思路是先根据随机变量$X$服从的二项分布以及已知的$P\{X\geq1\}$的值，求出参数$p$，再利用求出的$p$计算随机变量$Y$的$P\{Y\geq1\}$。

步骤一：根据$X$的分布求出参数$p$

已知随机变量$X$服从参数为$(2,p)$的二项分布，其概率质量函数为$P(X = k) = \binom{2}{k} p^k (1-p)^{2-k}$，$k = 0, 1, 2$。
因为$P\{X \geq 1\} = \frac{5}{9}$，且$P\{X \geq 1\} = 1 - P\{X = 0\}$，所以先求$P\{X = 0\}$：
$P\{X = 0\} = \binom{2}{0} p^0 (1-p)^2=(1-p)^2$
则$1 - (1-p)^2 = \frac{5}{9}$，移项可得$(1-p)^2 = 1 - \frac{5}{9}$，即$(1-p)^2 = \frac{4}{9}$。
对等式两边取平方根，得到$1-p = \pm\frac{2}{3}$。
因为概率$p$的取值范围是$[0,1]$，所以$1-p\geq0$，则$1-p = \frac{2}{3}$，解得$p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。

步骤二：根据$p$的值求出$P\{Y\geq1\}$

已知随机变量$Y$服从参数为$(3,p)$的二项分布，其概率质量函数为$P(Y = k) = \binom{3}{k} p^k (1-p)^{3-k}$，$k = 0, 1, 2, 3$。
因为$P\{Y \geq 1\} = 1 - P\{Y = 0\}$，所以先求$P\{Y = 0\}$：
$P\{Y = 0\} = \binom{3}{0} p^0 (1-p)^3=(1-p)^3$
将$p = \frac{1}{3}$代入可得$1-p = \frac{2}{3}$，则$P\{Y = 0\} = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$。
所以$P\{Y \geq 1\} = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$。