曲面z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1,0,1)处的切平面方程为（ ）。A. 2x+y-z-1=0B. 2x-y-z-1=0C. 2x-y+z-1=0D. 2x-y-z+1=0

考查要点：本题主要考查曲面在某一点处切平面方程的求解方法，需要掌握显函数形式的曲面切平面公式，以及偏导数的计算。

解题核心思路：

1. 确定切平面的一般公式：对于形如$z = f(x, y)$的曲面，切平面方程为：
   $z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$
2. 计算偏导数：分别求$f_x$和$f_y$，并在点$(1, 0)$处代入求值。
3. 代入公式整理方程：将偏导数值和切点坐标代入公式，整理为标准形式。

破题关键点：

• 正确计算偏导数，注意对$x$和$y$求导时的变量处理。
• 代入点的坐标时，注意三角函数值（如$\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$）的简化。

1. 计算偏导数$f_x$和$f_y$

原函数：$z = x^2(1 - \sin y) + y^2(1 - \sin x)$

求$f_x$：

对$x$求偏导，$y$视为常数：
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left[ x^2(1 - \sin y) + y^2(1 - \sin x) \right] = 2x(1 - \sin y) - y^2 \cos x$

求$f_y$：

对$y$求偏导，$x$视为常数：
$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left[ x^2(1 - \sin y) + y^2(1 - \sin x) \right] = -x^2 \cos y + 2y(1 - \sin x)$

2. 代入点$(1, 0)$求偏导数值

$f_x(1, 0)$：

$f_x(1, 0) = 2 \cdot 1 \cdot (1 - \sin 0) - 0^2 \cdot \cos 1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 - 0 = 2$

$f_y(1, 0)$：

$f_y(1, 0) = -1^2 \cdot \cos 0 + 2 \cdot 0 \cdot (1 - \sin 1) = -1 \cdot 1 + 0 = -1$

3. 代入切平面公式

已知切点$(1, 0, 1)$，代入公式：
$z = 1 + 2(x - 1) - 1 \cdot y$
展开整理：
$z = 2x - y - 1 \quad \Rightarrow \quad 2x - y - z - 1 = 0$