一质点的运动方程为 r=2ti+(4t^2-8)j（SI）。求：(1) 质点的轨迹方程，并画出轨迹曲线；(2) 质点在 t=1 mathrm(s) 到 t=2 mathrm(s) 时间内的位移；(3) 质点的速度表达式以及在 t=1 mathrm(s) 时速度的大小和方向；(4) 质点的加速度表达式以及在 t=1 mathrm(s) 时加速度的大小和方向。

以下是针对题目所求各部分的完整解答，结构清晰、推导严谨：

1. 轨迹方程与轨迹曲线

由运动方程 $\mathbf{r} = 2t \mathbf{i} + (4t^2 - 8) \mathbf{j}$，可得参数方程：
$x = 2t, \quad y = 4t^2 - 8$
消去参数 $t$：由 $t = \frac{x}{2}$ 代入 $y$ 得：
$y = x^2 - 8$
此为开口向上的抛物线，顶点在 $(0, -8)$。关键点包括：

• $t=0$ → $(0, -8)$
• $t=1$ → $(2, -4)$
• $t=2$ → $(4, 8)$
• $t=-1$ → $(-2, -4)$
• $t=-2$ → $(-4, 8)$

轨迹为完整抛物线，无限制。

2. $t=1\,\text{s}$ 到 $t=2\,\text{s}$ 的位移

计算两端位置矢量：

• $\mathbf{r}(1) = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j}$
• $\mathbf{r}(2) = 4\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$

位移：
$\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(2) - \mathbf{r}(1) = 2\mathbf{i} + 12\mathbf{j} \quad (\text{单位：m})$

大小：
$|\Delta \mathbf{r}| = \sqrt{2^2 + 12^2} = 2\sqrt{37} \approx 12.17\,\text{m}$

方向（与 $x$ 轴正向夹角）：
$\theta = \arctan\left(\frac{12}{2}\right) = \arctan 6 \approx 80.5^\circ$

3. 速度表达式及 $t=1\,\text{s}$ 时的速度

对位置求导得速度：
$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = 2\mathbf{i} + 8t\mathbf{j} \quad (\text{单位：m/s})$

在 $t=1\,\text{s}$：
$\mathbf{v}(1) = 2\mathbf{i} + 8\mathbf{j}$

大小：
$v = \sqrt{2^2 + 8^2} = 2\sqrt{17} \approx 8.25\,\text{m/s}$

方向（与 $x$ 轴正向夹角）：
$\alpha = \arctan\left(\frac{8}{2}\right) = \arctan 4 \approx 76.0^\circ$

4. 加速度表达式及 $t=1\,\text{s}$ 时的加速度

对速度求导得加速度：
$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = 8\mathbf{j} \quad (\text{单位：m/s}^2)$

可见加速度恒定，与时间无关。

在 $t=1\,\text{s}$：

• 大小：$a = 8\,\text{m/s}^2$
• 方向：沿 $y$ 轴正方向（竖直向上）