[题目]-|||-1.设A是n阶反对称矩阵,B是n阶对称矩阵,证明:-|||-(1)AB-BA 为对称矩阵;-|||-(2) AB+BA 是n阶反对称矩阵;-|||-(3)AB是反对称矩阵的充要条件是 =BA.

步骤 1：证明AB-BA为对称矩阵
由于A是n阶反对称矩阵，所以有 $A'=-A$。由于B是n阶对称矩阵，所以有 $B'=B$。因此，我们有：
$$
(AB-BA)'=(AB)'-(BA)'=B'A'-A'B'=B(-A)-(-A)B=-BA+AB=AB-BA
$$
所以，AB-BA为对称矩阵。
步骤 2：证明AB+BA为反对称矩阵
同样地，我们有：
$$
(AB+BA)'=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'B'=B(-A)+(-A)B=-BA-AB=-(AB+BA)
$$
所以，AB+BA为反对称矩阵。
步骤 3：证明AB是反对称矩阵的充要条件是 $AB=BA$
首先，假设AB是反对称矩阵，即 $(AB)'=-AB$。由于A是反对称矩阵，B是对称矩阵，我们有：
$$
(AB)'=B'A'=-BA
$$
因此，$-BA=-AB$，即 $AB=BA$。
其次，假设 $AB=BA$，则：
$$
(AB)'=B'A'=-BA=-AB
$$
所以，AB是反对称矩阵。