题目
设是锥面被平面所截得的部分的下侧，则A.B.C.D.
设
是锥面
被平面
所截得的部分的下侧，则
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
答案：D.
解：是锥面被平面所截得的部分的下侧，则曲面在坐标平面
上的投影区域为
则
解析
步骤 1：确定曲面的投影区域
曲面$z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$被平面$z=2$所截得的部分的下侧，投影到$xy$平面上的区域为$D_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4\}$，即半径为2的圆。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分zdxdy可以转化为在投影区域$D_{xy}$上的二重积分，即$\iint_{D_{xy}}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$。由于曲面是下侧，所以积分值为负。
步骤 3：转换为极坐标计算
将二重积分转换为极坐标形式，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，则积分变为$-\iint_{D_{xy}}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy=-{\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{2}{r}^{2}dr$。
步骤 4：计算积分
计算积分$-\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{2}dr=-2\pi\int_{0}^{2}r^{2}dr=-2\pi\left[\frac{1}{3}r^{3}\right]_{0}^{2}=-2\pi\left(\frac{1}{3}\times 2^{3}\right)=-\frac{16}{3}\pi$。
曲面$z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$被平面$z=2$所截得的部分的下侧，投影到$xy$平面上的区域为$D_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 4\}$，即半径为2的圆。
步骤 2：计算曲面积分
曲面积分zdxdy可以转化为在投影区域$D_{xy}$上的二重积分，即$\iint_{D_{xy}}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy$。由于曲面是下侧，所以积分值为负。
步骤 3：转换为极坐标计算
将二重积分转换为极坐标形式，$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$dxdy=rdrd\theta$，则积分变为$-\iint_{D_{xy}}\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}dxdy=-{\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{2}{r}^{2}dr$。
步骤 4：计算积分
计算积分$-\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2}r^{2}dr=-2\pi\int_{0}^{2}r^{2}dr=-2\pi\left[\frac{1}{3}r^{3}\right]_{0}^{2}=-2\pi\left(\frac{1}{3}\times 2^{3}\right)=-\frac{16}{3}\pi$。