题目
简答题（共6题，40.0分）21.（6.0分）求极限lim_(xto1)((3)/(x^3)-1-(1)/(x-1))
简答题（共6题，40.0分）
21.（6.0分）求极限$\lim_{x\to1}(\frac{3}{x^{3}-1}-\frac{1}{x-1})$
题目解答
答案
将原式通分并化简：
\[
\lim_{x \to 1} \left( \frac{3}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{3 - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-x^2 - x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}
\]
分子因式分解：
\[
-x^2 - x + 2 = -(x - 1)(x + 2)
\]
消去公因子：
\[
\lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{x^2 + x + 1} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1} = -1
\]
**答案：** $\boxed{-1}$
解析
步骤 1：通分并化简
将原式通分并化简，得到：
\[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{3}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{3 - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]
步骤 2：分子因式分解
分子因式分解，得到：
\[ -x^2 - x + 2 = -(x - 1)(x + 2) \]
步骤 3：消去公因子并求极限
消去公因子并求极限，得到：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{x^2 + x + 1} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1} = -1 \]
将原式通分并化简，得到：
\[ \lim_{x \to 1} \left( \frac{3}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} \right) = \lim_{x \to 1} \frac{3 - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \]
步骤 2：分子因式分解
分子因式分解，得到：
\[ -x^2 - x + 2 = -(x - 1)(x + 2) \]
步骤 3：消去公因子并求极限
消去公因子并求极限，得到：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{-(x + 2)}{x^2 + x + 1} = \frac{-(1 + 2)}{1 + 1 + 1} = -1 \]