7.函数f(x)=2-3sqrt(x)的值域为____

考查要点：本题主要考查函数值域的求解方法，特别是含根号的函数通过变量代换转化为线性函数的分析思路。

解题核心思路：

1. 确定定义域：由于函数中含有$\sqrt{x}$，定义域为$x \geq 0$。
2. 变量代换：令$t = \sqrt{x}$，将原函数转化为关于$t$的线性函数$g(t) = 2 - 3t$。
3. 分析线性函数的单调性：斜率为负，函数随$t$增大而单调递减。
4. 确定端点值：当$t = 0$时取得最大值$2$，当$t \to +\infty$时函数值趋向$-\infty$，从而确定值域。

破题关键点：

• 变量代换简化问题，将根号函数转化为线性函数。
• 利用线性函数的单调性直接推导值域范围。

1. 确定定义域
   函数$f(x) = 2 - 3\sqrt{x}$中，$\sqrt{x}$要求$x \geq 0$，因此定义域为$x \geq 0$。

2. 变量代换
   令$t = \sqrt{x}$，则$t \geq 0$，原函数可改写为：
   $g(t) = 2 - 3t.$

3. 分析线性函数的单调性

   • 线性函数$g(t) = 2 - 3t$的斜率为$-3$，说明函数随$t$的增大而单调递减。
   • 当$t = 0$时，$g(0) = 2$，这是函数的最大值。
   • 当$t \to +\infty$时，$g(t) \to -\infty$，即函数值无下限。

4. 确定值域
   因此，$g(t)$的值域为$(-\infty, 2]$，对应原函数$f(x)$的值域也为$(-\infty, 2]$。